Задача №16488

Пусть $R$ — радиус полушара (и основания конуса), $H$ — высота конуса. Колба состоит из полушара (внизу в исходном положении) и конуса (сверху), сначала песок целиком в полушаре.

Объём песка — это объём полушара:

$$V_{\text{песка}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi R^3.$$

После переворачивания конус оказывается внизу вершиной вниз. Песок заполняет его от вершины до уровня $h=\frac{H}{2}\text{.}$

Эта заполненная песком часть — конус, подобный исходному с коэффициентом подобия $\frac{h}{H}=\frac{1}{2}\text{.}$ Радиус его основания:

$$r=R\cdot \frac{1}{2}=\frac{R}{2}.$$

Объём песка после переворота:

$$V_{\text{песка}}^{\prime }=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{R^2}{4}\cdot \frac{H}{2}=\frac{\pi R^{2}H}{24}.$$

Песок несжимаем, поэтому объёмы равны:

$$\frac{\pi R^{2}H}{24}=\frac{2}{3}\pi R^3\Rightarrow \frac{H}{24}=\frac{2R}{3}\Rightarrow \frac{H}{R}=16.$$

Ответ: 16