В параллелограмме ABCD точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно, BAD = (5), MN ND. А) Докажите, что MD : ND = 3 : 2. Б) Найдите отношение площади треугольника MND к площади параллелограмма ABCD.

Решение. А) Пусть K = MD n AC, P = ND n AC. AKM CKD с коэффициентом (1)/(2) (по двум углам), значит (AK)/(CK) = (1)/(2), т.е. AK = (1)/(3)AC. Аналогично CPN APD, CP = (1)/(3)AC, KP = (1)/(3)AC. MN AC (средняя линия ABC), и так как MN ND, то ND AC, т.е. DP AC. Из подобия CPN CKB получаем BK AC. Пусть AB = 2a, BC = 2b. DP — медиана и высота KDC, значит KDC равнобедренный и KD = CD = 2a. Тогда MK = a, MD = 3a. По условию tg BAC = sqrt(5), тогда cos BAC = (1)/(sqrt(6)). По теореме косинусов для MAD: a^2 + 4b^2 - 4ab * (1)/(sqrt(6)) = 9a^2 <=>2a^2 + (ab)/(sqrt(6)) - b^2 = 0, откуда (a)/(b) = (sqrt(6))/(4), т.е. b = (4)/(sqrt(6))a, b^2 = (8)/(3)a^2. Из NCD по теореме косинусов: ND^2 = b^2 + 4a^2 - 4ab*(1)/(sqrt(6)) = (8)/(3)a^2 + 4a^2 - (8)/(3)a^2 = 4a^2, значит ND = 2a и (MD)/(ND) = (3a)/(2a) = (3)/(2). Б) Пусть S_(ABCD) = S. S_(AMD) = (1)/(2)S_(ADB) = (1)/(4)S, поэтому S_(MBCD) = (3)/(4)S. Далее S_(MBN) = (1)/(4)S_(ABC) = (1)/(8)S, S_(NDC) = (1)/(2)S_(BDC) = (1)/(4)S. S_(MND) = S_(MBCD) - (S_(MBN) + S_(NDC)) = (3)/(4)S - ((1)/(8) + (1)/(4))S = (3)/(8)S. Ответ: б) S_(MND) : S_(ABCD) = 3 : 8.

$3 : 8$