Задача №16486

Стороны правильного треугольника $ABC$ равны $5\sqrt{3}\text{.}$ Найдите длину вектора $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\text{.}$

В правильном треугольнике $ABC$ все стороны равны $a=5\sqrt{3}\text{,}$ а угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ (выходящими из общей вершины $A$) равен $60^{\circ }\text{.}$

Используем формулу длины суммы двух векторов:

Подставим $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=5\sqrt{3}\text{:}$

Следовательно,

Геометрический смысл. Сумма $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ — это диагональ ромба, построенного на этих векторах. Для правильного треугольника эта диагональ совпадает с удвоенной медианой из вершины $A\text{,}$ длина которой $\frac{a\sqrt{3}}{2}\text{.}$ Получаем

Ответ: 15