Отец, мать, дочь и сын приехали на дачу. Им предстоит собрать ягоды в саду и натаскать песка для обустройства участка. Пробыть на даче они могут ровно 4 дня. Отец собирает в день 48 стаканов ягод, мать — 31,5 стакана, дочь — 25 стаканов, сын — 42 стакана. Отец за день может принести 60 ведер песка, мать — 42 ведра, дочь — 36 ведер, сын — 54 ведра. Для участка необходимо принести 300 ведер песка. Как семье распределить работу, чтобы при этом собрать наибольшее возможное количество ягод? Сколько стаканов ягод при этом будет собрано?

Решение. Пусть отец носит песок a дней, мать — b дней, дочь — c дней, сын — d дней. Тогда оставшиеся 4 - a , 4 - b , 4 - c , 4 - d дней каждый собирает ягоды, причём 0 a, b, c, d 4 . Ограничение по песку: 60a + 42b + 36c + 54d 300. Разделив на 6 , получим 10a + 7b + 6c + 9d 50. () Целевая функция (количество ягод): Y = 48(4 - a) + 31,5(4 - b) + 25(4 - c) + 42(4 - d) = 586 - F, где F = 48a + 31,5b + 25c + 42d — потери ягод. Максимизация Y равносильна минимизации F . Вычтем из F выражение 4,5 * (10a + 7b + 6c + 9d) , которое по () не меньше 4,5 * 50 = 225 : F - 4,5 * (10a + 7b + 6c + 9d) = 3a + 0 * b - 2c + 1,5d. Поэтому F 225 + (3a - 2c + 1,5d) при выполнении () как равенства. Минимум функции g(a,c,d) = 3a - 2c + 1,5d на отрезках [0;4] достигается при a = 0, d = 0, c = 4 и равен -8 . Подставляя в () как равенство, находим b = (50 - 24)/(7) = (26)/(7), что лежит на отрезке [0;4] . Проверка: песок: 60 * 0 + 42 * (26)/(7) + 36 * 4 + 54 * 0 = 156 + 144 = 300 вёдер. Все a, b, c, d в допустимых границах. Подсчёт ягод: - отец 4 дня: 48 * 4 = 192 стак., - мать 4 - (26)/(7) = (2)/(7) дня: 31,5 * (2)/(7) = 9 стак., - дочь 0 дней: 0 стак., - сын 4 дня: 42 * 4 = 168 стак. Итого Y = 192 + 9 + 0 + 168 = 369 стаканов. Распределение работы: дочь все 4 дня носит песок, мать носит песок (26)/(7) дня и (2)/(7) дня собирает ягоды, отец и сын все 4 дня собирают ягоды. Ответ: 369 стаканов ягод.

369