Найдите корень уравнения 2^(|x+2|) - | 2^(x+1) - 1 | = 2^(x+1) .

Задача №16478: Простейшие уравнения

Введём замену $y = x + 1,$ тогда $x + 2 = y + 1,$ и уравнение принимает вид

2^{∣ y + 1∣} - ∣ 2^{y} - 1∣ = 2^{y} .

Случай 1: $y ⩾ 0$ (то есть $x ⩾ - 1$ ). Тогда $∣ y + 1∣ = y + 1,$ $∣ 2^{y} - 1∣ = 2^{y} - 1 .$

2^{y + 1} - (2^{y} - 1) = 2^{y} \Leftrightarrow 2 \cdot 2^{y} - 2^{y} + 1 = 2^{y} \Leftrightarrow 2^{y} + 1 = 2^{y} \Leftrightarrow 1 = 0.

Нет решений.

Случай 2: $- 1 ⩽ y < 0$ (то есть $- 2 ⩽ x < - 1$ ). Тогда $∣ y + 1∣ = y + 1 ⩾ 0,$ $∣ 2^{y} - 1∣ = 1 - 2^{y}$ (так как $2^{y} < 1$ ).

2^{y + 1} - (1 - 2^{y}) = 2^{y} \Leftrightarrow 2 \cdot 2^{y} - 1 + 2^{y} = 2^{y} \Leftrightarrow 2 \cdot 2^{y} = 1 \Leftrightarrow 2^{y + 1} = 1 \Leftrightarrow y = - 1.

Значит $x = - 2 .$

Случай 3: $y < - 1$ (то есть $x < - 2$ ). Тогда $∣ y + 1∣ = - y - 1,$ $∣ 2^{y} - 1∣ = 1 - 2^{y} .$

2^{- y - 1} - (1 - 2^{y}) = 2^{y} \Leftrightarrow 2^{- y - 1} = 1 \Leftrightarrow - y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = - 1.

Противоречит условию $y < - 1 .$ Нет решений.

Проверка $x = - 2 :$

2^{∣0∣} - ∣ 2^{- 1} - 1∣ = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 2^{- 1} .

Ответ: $- 2 .$