Задача №16477

Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если его образующая наклонена к плоскости основания под углом $60^{\circ }\text{,}$ а площадь поверхности вписанного шара равна $12\pi \text{.}$

Шаг 1. Радиус вписанного шара.

Площадь поверхности шара $4\pi r^2=12\pi \text{,}$ откуда $r^2=3\text{,}$ $r=\sqrt{3}\text{.}$

Шаг 2. Осевое сечение.

Осевое сечение усечённого конуса — равнобокая трапеция с углами при большем основании $60^{\circ }\text{,}$ в неё вписана окружность радиуса $r=\sqrt{3}\text{.}$ Диаметр вписанной окружности равен высоте трапеции (она же высота усечённого конуса):

Шаг 3. Образующая.

Образующая $L$ конуса в осевом сечении — это боковая сторона трапеции, наклонённая к основанию под углом $60^{\circ }\text{:}$

Шаг 4. Сумма радиусов оснований.

В осевом сечении (равнобокая трапеция с основаниями $2R$ и $2r^{\prime }\text{,}$ где $R$ — больший радиус, $r^{\prime }$ — меньший радиус) в трапецию вписана окружность, поэтому сумма параллельных сторон равна сумме боковых:

Шаг 5. Боковая поверхность.

По формуле боковой поверхности усечённого конуса:

Ответ: $S_{\text{бок}}=16\pi$ (в задаче коэффициент $\pi$ опущен, поэтому записывается $16$).