Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если его образующая наклонена к плоскости основания под углом 60^ , а площадь поверхности вписанного шара равна 12pi .

Шаг 1. Радиус вписанного шара. Площадь поверхности шара 4pi r^2 = 12pi , откуда r^2 = 3 , r = sqrt(3) . Шаг 2. Осевое сечение. Осевое сечение усечённого конуса — равнобокая трапеция с углами при большем основании 60^ , в неё вписана окружность радиуса r = sqrt(3) . Диаметр вписанной окружности равен высоте трапеции (она же высота усечённого конуса): h = 2r = 2sqrt(3). Шаг 3. Образующая. Образующая L конуса в осевом сечении — это боковая сторона трапеции, наклонённая к основанию под углом 60^ : h = Lsin 60^ =>L = (2sqrt(3))/(sqrt(3)/2) = 4. Шаг 4. Сумма радиусов оснований. В осевом сечении (равнобокая трапеция с основаниями 2R и 2r' , где R — больший радиус, r' — меньший радиус) в трапецию вписана окружность, поэтому сумма параллельных сторон равна сумме боковых: 2R + 2r' = 2L =>R + r' = L = 4. Шаг 5. Боковая поверхность. По формуле боковой поверхности усечённого конуса: S_(бок) = pi(R + r') * L = pi * 4 * 4 = 16pi. Ответ: S_(бок) = 16pi (в задаче коэффициент pi опущен, поэтому записывается 16 ).

16