Задача №16474

Пусть $S$ — площадь треугольника $ABC\text{.}$ Точка $P$ лежит на стороне $AB\text{,}$ причём $BP:PA=1:2\text{,}$ а точка $Q$ лежит на $BC\text{,}$ причём $BQ:QC=4:1\text{.}$

Тогда $\frac{BP}{BA}=\frac{1}{3}$ и $\frac{BQ}{BC}=\frac{4}{5}\text{.}$

Площадь треугольника $PBQ$ относится к площади $ABC$ как произведение отношений отсечённых от вершины $B$ сторон:

$$\frac{S_{PBQ}}{S_{ABC}}=\frac{BP}{BA}\cdot \frac{BQ}{BC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{4}{15}.$$

Четырёхугольник $ACQP$ — это часть $ABC\text{,}$ оставшаяся после удаления треугольника $PBQ\text{:}$

$$S_{ACQP}=S_{ABC}-S_{PBQ}=S-\frac{4}{15}S=\frac{11}{15}S.$$

Искомое отношение:

$$\frac{S_{ACQP}}{S_{PBQ}}=\frac{11/15}{4/15}=\frac{11}{4}=2,75.$$

Ответ: $2,75\text{.}$