На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки P и Q так, что BP:PA = 1:2 , BQ:QC = 4:1 . Найдите отношение площади четырёхугольника ACQP к площади треугольника PBQ .

Пусть S — площадь треугольника ABC . Точка P лежит на стороне AB , причём BP:PA = 1:2 , а точка Q лежит на BC , причём BQ:QC = 4:1 . Тогда (BP)/(BA) = (1)/(3) и (BQ)/(BC) = (4)/(5) . Площадь треугольника PBQ относится к площади ABC как произведение отношений отсечённых от вершины B сторон: (S_(PBQ))/(S_(ABC)) = (BP)/(BA) * (BQ)/(BC) = (1)/(3) * (4)/(5) = (4)/(15). Четырёхугольник ACQP — это часть ABC , оставшаяся после удаления треугольника PBQ : S_(ACQP) = S_(ABC) - S_(PBQ) = S - (4)/(15)S = (11)/(15)S. Искомое отношение: (S_(ACQP))/(S_(PBQ)) = (11/15)/(4/15) = (11)/(4) = 2,75. Ответ: 2,75 .

2,75