А) Решите уравнение
tgx1+ctgx1−2ctgx=2.
Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
[−23π;2π].
А) ОДЗ: sinx=0, cosx=0.
Поскольку tgx1=ctgx и ctgx1=tgx, уравнение принимает вид:
ctgx+tgx−2ctgx=2⇔tgx−ctgx=2.Запишем через sin и cos:
cosxsinx−sinxcosx=2⇔{sin2x−cos2x=2sinxcosx,sinxcosx=0.Используя формулы sin2x−cos2x=−cos2x и 2sinxcosx=sin2x:
{−cos2x=sin2x,sin2x=0;⇔ctg2x=−1⇔2x=43π+πk, k∈Z.Откуда
x=83π+2πk,k∈Z.Б) Корни на отрезке [−23π;2π] отбираем двойным неравенством:
−23π⩽83π+2πk⩽2π⇔−12⩽3+4k⩽4⇔−415⩽k⩽41.Целые значения k∈{−3;−2;−1;0} дают:
1. k=−3: x=83π−23π=−89π.
2. k=−2: x=83π−π=−85π.
3. k=−1: x=83π−2π=−8π.
4. k=0: x=83π.
Ответ:
а) x=83π+2πk, k∈Z
б) −89π; −85π; −8π; 83π
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин