Задача №16472

Каждый из трёх бизнесменов имеет хотя бы одну акцию типа А и типа Б. Общее количество акций обоих типов у каждого бизнесмена равны соответственно $n\text{,}$ $m$ и $k\text{.}$ Стоимость акций типа А выше, чем стоимость акций типа Б, а общая стоимость $S$ (руб) всех акций у каждого бизнесмена одинаковая.

а) Может ли быть, что $n=5\text{,}$ $m=21\text{,}$ $k=29\text{?}$

б) Может ли быть, что $n=4\text{,}$ $m=21\text{,}$ $k=29\text{?}$

в) Найдите стоимость акции каждого типа, если $n=11\text{,}$ $m=21\text{,}$ $k=29\text{,}$ $S=4402\text{.}$

Пусть стоимость одной акции типа А равна $a\text{,}$ типа Б — $b$ ($a>b$). Обозначим количества акций типов А и Б у бизнесменов как $(x_1,y_1)\text{,}$ $(x_2,y_2)\text{,}$ $(x_3,y_3)\text{.}$ Условия: $x_i+y_i\in \{n;m;k\}$ и $a{x}_i+b{y}_i=S\text{.}$

Подставляя $y_i=N_i-x_i$ ($N_i$ — общее число акций $i$-го бизнесмена), получаем $(a-b)x_i+b{N}_i=S\text{,}$ откуда $(a-b)(x_i-x_j)=b(N_j-N_i)\text{,}$ т.е.

$$x_i-x_j=\frac{(N_j-N_i)b}{a-b}.$$

а) При $n=5\text{,}$ $m=21\text{,}$ $k=29$ ($N_1=5\text{,}$ $N_2=21\text{,}$ $N_3=29$). Пример: $b=1\text{,}$ $a=9\text{,}$ тогда $\frac{b}{a-b}=\frac{1}{8}$ и:

— $x_1=4\text{,}$ $y_1=1\text{,}$ $a{x}_1+b{y}_1=36+1=37\text{;}$

— $x_2=2\text{,}$ $y_2=19\text{,}$ $a{x}_2+b{y}_2=18+19=37\text{;}$

— $x_3=1\text{,}$ $y_3=28\text{,}$ $a{x}_3+b{y}_3=9+28=37\text{.}$

Все $x_i,y_i⩾1\text{,}$ $a>b\text{,}$ $S=37$ — все условия выполнены.

Ответ а): да.

б) При $n=4\text{,}$ $m=21\text{,}$ $k=29\text{:}$ разности $N_2-N_1=17\text{,}$ $N_3-N_2=8\text{,}$ $N_3-N_1=25\text{.}$ Так как $a>b>0\text{,}$ имеем $x_1>x_2>x_3>0\text{.}$ По условию $x_1+y_1=4$ при $y_1⩾1\text{,}$ значит $x_1⩽3\text{,}$ и единственная возможность $x_1=3\text{,}$ $x_2=2\text{,}$ $x_3=1\text{.}$ Тогда $x_1-x_2=1=17\frac{b}{a-b}\text{,}$ откуда $a=18b\text{;}$ $x_2-x_3=1=8\frac{b}{a-b}\text{,}$ откуда $a=9b\text{.}$ Противоречие.

Ответ б): нет.

в) $S=4402=2\cdot 31\cdot 71\text{.}$ При $n=11\text{,}$ $m=21\text{,}$ $k=29\text{:}$

$$\{\begin{array}{l}{x}_2-x_3=8\frac{b}{a-b},\\ x_1-x_2=10\frac{b}{a-b},\\ x_1-x_3=18\frac{b}{a-b}.\end{array}$$

Считаем $a\text{,}$ $b$ натуральными. Числа $8b\text{,}$ $10b\text{,}$ $18b$ делятся на $(a-b)\text{,}$ значит и их НОД $2b$ делится на $(a-b)\text{.}$ Положим $t=\frac{2b}{a-b}$ — натуральное число. Тогда из $(a-b)x_i+b{N}_i=4402\text{,}$ домножая обе части на $t\text{,}$ получаем $(2x_i+N_{i}t)b=4402t\text{.}$ Сравнивая для разных $i\text{:}$

$$\{\begin{array}{l}2x_1+11t=2x_2+21t,\\ 2x_1+11t=2x_3+29t,\\ 2x_2+21t=2x_3+29t\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_1=x_3+9t,\\ x_2=x_3+4t.\end{array}$$

Так как $x_1<N_1=11\text{,}$ имеем $x_3+9t<11\text{,}$ т.е. $x_3<11-9t\text{.}$ При $t⩾2$ получим $x_3<-7\text{,}$ противоречие. Значит $t=1\text{,}$ тогда $x_3<2\text{,}$ т.е. $x_3=1\text{,}$ $x_2=5\text{,}$ $x_1=10\text{,}$ $y_1=1\text{,}$ $y_2=16\text{,}$ $y_3=28\text{,}$ $a=3b\text{.}$

Из $(a-b)x_1+11b=4402\text{,}$ т.е. $2b\cdot 10+11b=4402\text{,}$ получаем $31b=4402\text{,}$ откуда $b=142\text{,}$ $a=426\text{.}$

Ответ:

а) да;

б) нет;

в) акция типа А — $426$ руб., акция типа Б — $142$ руб.