Каждый из трёх бизнесменов имеет хотя бы одну акцию типа А и типа Б. Общее количество акций обоих типов у каждого бизнесмена равны соответственно n , m и k . Стоимость акций типа А выше, чем стоимость акций типа Б, а общая стоимость S (руб) всех акций у каждого бизнесмена одинаковая. а) Может ли быть, что n = 5 , m = 21 , k = 29 ? б) Может ли быть, что n = 4 , m = 21 , k = 29 ? в) Найдите стоимость акции каждого типа, если n = 11 , m = 21 , k = 29 , S = 4402 .

Пусть стоимость одной акции типа А равна a , типа Б — b ( a > b ). Обозначим количества акций типов А и Б у бизнесменов как (x_1, y_1) , (x_2, y_2) , (x_3, y_3) . Условия: x_i + y_i in n;m;k и a x_i + b y_i = S . Подставляя y_i = N_i - x_i ( N_i — общее число акций i -го бизнесмена), получаем (a - b) x_i + b N_i = S , откуда (a - b)(x_i - x_j) = b(N_j - N_i) , т.е. x_i - x_j = ((N_j - N_i)b)/(a - b). а) При n = 5 , m = 21 , k = 29 ( N_1 = 5 , N_2 = 21 , N_3 = 29 ). Пример: b = 1 , a = 9 , тогда (b)/(a - b) = (1)/(8) и: — x_1 = 4 , y_1 = 1 , a x_1 + b y_1 = 36 + 1 = 37 ; — x_2 = 2 , y_2 = 19 , a x_2 + b y_2 = 18 + 19 = 37 ; — x_3 = 1 , y_3 = 28 , a x_3 + b y_3 = 9 + 28 = 37 . Все x_i, y_i 1 , a > b , S = 37 — все условия выполнены. Ответ а): да. б) При n = 4 , m = 21 , k = 29 : разности N_2 - N_1 = 17 , N_3 - N_2 = 8 , N_3 - N_1 = 25 . Так как a > b > 0 , имеем x_1 > x_2 > x_3 > 0 . По условию x_1 + y_1 = 4 при y_1 1 , значит x_1 3 , и единственная возможность x_1 = 3 , x_2 = 2 , x_3 = 1 . Тогда x_1 - x_2 = 1 = 17(b)/(a - b) , откуда a = 18b ; x_2 - x_3 = 1 = 8(b)/(a - b) , откуда a = 9b . Противоречие. Ответ б): нет. в) S = 4402 = 2 * 31 * 71 . При n = 11 , m = 21 , k = 29 : cases x_2 - x_3 = 8(b)/(a - b), x_1 - x_2 = 10(b)/(a - b), x_1 - x_3 = 18(b)/(a - b). cases Считаем a , b натуральными. Числа 8b , 10b , 18b делятся на (a - b) , значит и их НОД 2b делится на (a - b) . Положим t = (2b)/(a - b) — натуральное число. Тогда из (a - b) x_i + b N_i = 4402 , домножая обе части на t , получаем (2x_i + N_it)b = 4402t . Сравнивая для разных i : cases 2x_1 + 11t = 2x_2 + 21t, 2x_1 + 11t = 2x_3 + 29t, 2x_2 + 21t = 2x_3 + 29t cases <=>cases x_1 = x_3 + 9t, x_2 = x_3 + 4t. cases Так как x_1 < N_1 = 11 , имеем x_3 + 9t < 11 , т.е. x_3 < 11 - 9t . При t 2 получим x_3 < -7 , противоречие. Значит t = 1 , тогда x_3 < 2 , т.е. x_3 = 1 , x_2 = 5 , x_1 = 10 , y_1 = 1 , y_2 = 16 , y_3 = 28 , a = 3b . Из (a - b) x_1 + 11b = 4402 , т.е. 2b * 10 + 11b = 4402 , получаем 31b = 4402 , откуда b = 142 , a = 426 . Ответ: а) да; б) нет; в) акция типа А — 426 руб., акция типа Б — 142 руб.

А) да; Б) нет; В) акция типа А — $426$ руб., акция типа Б — $142$ руб.