Задача №16470

Две окружности пересекаются в точках $M$ и $N\text{.}$ На одной из окружностей отмечены точки $A$ и $C\text{,}$ а на второй — $B$ и $D$ так, что $ABCD$ — параллелограмм. Диагонали параллелограмма равны 2 и 6, а расстояние от их точки пересечения до прямой $MN$ равно 2.

а) Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно 2.

б) Найдите площадь параллелограмма $ABCD\text{,}$ если радиусы окружностей равны 5 и 4.

Обозначения.

Пусть ${\omega }_1$ — окружность, содержащая точки $A$ и $C\text{,}$ с центром $O_1$ и радиусом $R_1\text{;}$ ${\omega }_2$ — окружность, содержащая $B$ и $D\text{,}$ с центром $O_2$ и радиусом $R_2\text{.}$ Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD\text{;}$ так как $ABCD$ — параллелограмм, $O$ — середина обеих диагоналей $AC$ и $BD\text{.}$ Прямая $MN$ — радикальная ось окружностей ${\omega }_1$ и ${\omega }_2\text{.}$

Пункт а. Расстояние между центрами окружностей.

Шаг 1. Степень точки $O$ относительно каждой окружности.

Хорда $AC$ окружности ${\omega }_1$ проходит через $O$ — её середину, $|OA|=|OC|=\frac{AC}{2}\text{.}$ Степень точки внутри окружности:

$${\mathrm{pow}}_{{\omega }_1}(O)=-|OA|\cdot |OC|=-{\left(\frac{AC}{2}\right)}^2.$$

Аналогично, хорда $BD$ окружности ${\omega }_2$ делится точкой $O$ пополам:

$${\mathrm{pow}}_{{\omega }_2}(O)=-{\left(\frac{BD}{2}\right)}^2.$$

Шаг 2. Расстояние от $O$ до радикальной оси.

Для двух окружностей с центрами $O_1\text{,}$ $O_2$ и расстоянием $d=|O_1{O}_2|$ верна стандартная формула: расстояние от точки $T$ до радикальной оси равно

$$\rho (T,MN)=\frac{\left|{\mathrm{pow}}_{{\omega }_1}(T)-{\mathrm{pow}}_{{\omega }_2}(T)\right|}{2d}.$$

Применяя её к $T=O\text{:}$

$$\rho (O,MN)=\frac{\left|-\frac{A{C}^2}{4}+\frac{B{D}^2}{4}\right|}{2d}=\frac{|B{D}^2-A{C}^2|}{8d}.$$

Шаг 3. Подстановка данных.

$\{AC,BD\}=\{2,6\}$ (в каком-то порядке), $|B{D}^2-A{C}^2|=|36-4|=32\text{,}$ и $\rho (O,MN)=2\text{:}$

$$2=\frac{32}{8d}=\frac{4}{d}\Rightarrow d=2.$$

Таким образом, расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ равно $2\text{,}$ что и требовалось доказать.

Пункт б. Площадь параллелограмма ($R_1=5\text{,}$ $R_2=4$).

Шаг 1. Расстояния $|O{O}_1|$ и $|O{O}_2|\text{.}$

Радиус, проведённый в середину хорды, перпендикулярен хорде, и по теореме Пифагора

$$|O{O}_1{|}^2+{\left(\frac{AC}{2}\right)}^2=R_1^2,|O{O}_2{|}^2+{\left(\frac{BD}{2}\right)}^2=R_2^2.$$

Рассмотрим возможные сопоставления хорд $AC\text{,}$ $BD$ и окружностей ${\omega }_1$ (с радиусом 5), ${\omega }_2$ (с радиусом 4):

Вариант I. $AC=6$ (хорда ${\omega }_1$ с $R=5$), $BD=2$ (хорда ${\omega }_2$ с $R=4$):

$$|O{O}_1|=\sqrt{25-9}=4,|O{O}_2|=\sqrt{16-1}=\sqrt{15}.$$

Проверка неравенства треугольника $O_{1}O{O}_2$ при $|O_1{O}_2|=2\text{:}$ $\sqrt{15}\approx 3,87\text{,}$ $4+\sqrt{15}>2\text{,}$ $2+4>\sqrt{15}\text{,}$ $2+\sqrt{15}>4\text{.}$ Все неравенства выполнены.

Вариант II. $AC=2$ (на ${\omega }_1$), $BD=6$ (на ${\omega }_2$):

$$|O{O}_1|=\sqrt{25-1}=2\sqrt{6},|O{O}_2|=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}.$$

Проверка: $2\sqrt{6}\approx 4,90\text{,}$ $\sqrt{7}\approx 2,65\text{.}$ Нужно $|O{O}_1|<|O{O}_2|+|O_1{O}_2|=\sqrt{7}+2\approx 4,65\text{.}$ Но $4,90>4,65$ — неравенство треугольника нарушено, такая конфигурация невозможна.

Итак, единственный возможный набор расстояний — это $|O{O}_1|=4\text{,}$ $|O{O}_2|=\sqrt{15}\text{,}$ $|O_1{O}_2|=2$ (с точностью до перестановки окружностей).

Шаг 2. Угол между диагоналями.

$O_{1}O\perp AC$ и $O_{2}O\perp BD\text{,}$ поэтому угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен углу $\angle O_{1}O{O}_2$ (или дополнительному до $\pi \text{;}$ синусы одинаковы). По теореме косинусов в $△O_{1}O{O}_2\text{:}$

$$|O_1{O}_2{|}^2=|O{O}_1{|}^2+|O{O}_2{|}^2-2|O{O}_1||O{O}_2|\cos \angle O_{1}O{O}_2;$$ $$4=16+15-8\sqrt{15}\cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha =\frac{27}{8\sqrt{15}}=\frac{9\sqrt{15}}{40}.$$

Тогда

$${\sin }^2\alpha =1-\frac{729}{960}=\frac{231}{960}=\frac{385}{1600},\sin \alpha =\frac{\sqrt{385}}{40}.$$

Шаг 3. Площадь.

Площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot \sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{385}}{40}=\frac{6\sqrt{385}}{40}=\frac{3\sqrt{385}}{20}.$$

Ответ:

а) $|O_1{O}_2|=2$ (доказано).

б) $S_{ABCD}=\frac{3\sqrt{385}}{20}\text{.}$