Две окружности пересекаются в точках M и N . На одной из окружностей отмечены точки A и C , а на второй — B и D так, что ABCD — параллелограмм. Диагонали параллелограмма равны 2 и 6, а расстояние от их точки пересечения до прямой MN равно 2. а) Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно 2. б) Найдите площадь параллелограмма ABCD , если радиусы окружностей равны 5 и 4.

Обозначения. Пусть _1 — окружность, содержащая точки A и C , с центром O_1 и радиусом R_1 ; _2 — окружность, содержащая B и D , с центром O_2 и радиусом R_2 . Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD ; так как ABCD — параллелограмм, O — середина обеих диагоналей AC и BD . Прямая MN — радикальная ось окружностей _1 и _2 . Пункт а. Расстояние между центрами окружностей. Шаг 1. Степень точки O относительно каждой окружности. Хорда AC окружности _1 проходит через O — её середину, |OA| = |OC| = (AC)/(2) . Степень точки внутри окружности: pow_(_1)(O) = -|OA|*|OC| = -((AC)/(2))^2. Аналогично, хорда BD окружности _2 делится точкой O пополам: pow_(_2)(O) = -((BD)/(2))^2. Шаг 2. Расстояние от O до радикальной оси. Для двух окружностей с центрами O_1 , O_2 и расстоянием d = |O_1 O_2| верна стандартная формула: расстояние от точки T до радикальной оси равно (T,MN) = (|pow_(_1)(T) - pow_(_2)(T)|)/(2d). Применяя её к T = O : (O,MN) = (|-AC^24 + BD^24|)/(2d) = (|BD^2 - AC^2|)/(8d). Шаг 3. Подстановка данных. AC, BD = 2, 6 (в каком-то порядке), |BD^2 - AC^2| = |36 - 4| = 32 , и (O,MN) = 2 : 2 = (32)/(8d) = (4)/(d) =>d = 2. Таким образом, расстояние между центрами O_1 и O_2 равно 2 , что и требовалось доказать. Пункт б. Площадь параллелограмма ( R_1 = 5 , R_2 = 4 ). Шаг 1. Расстояния |OO_1| и |OO_2| . Радиус, проведённый в середину хорды, перпендикулярен хорде, и по теореме Пифагора |OO_1|^2 + ((AC)/(2))^2 = R_1^2, |OO_2|^2 + ((BD)/(2))^2 = R_2^2. Рассмотрим возможные сопоставления хорд AC , BD и окружностей _1 (с радиусом 5), _2 (с радиусом 4): Вариант I. AC = 6 (хорда _1 с R = 5 ), BD = 2 (хорда _2 с R = 4 ): |OO_1| = sqrt(25 - 9) = 4, |OO_2| = sqrt(16 - 1) = sqrt(15). Проверка неравенства треугольника O_1 O O_2 при |O_1 O_2| = 2 : sqrt(15) ~ 3,87 , 4 + sqrt(15) > 2 , 2 + 4 > sqrt(15) , 2 + sqrt(15) > 4 . Все неравенства выполнены. Вариант II. AC = 2 (на _1 ), BD = 6 (на _2 ): |OO_1| = sqrt(25 - 1) = 2sqrt(6), |OO_2| = sqrt(16 - 9) = sqrt(7). Проверка: 2sqrt(6) ~ 4,90 , sqrt(7) ~ 2,65 . Нужно |OO_1| < |OO_2| + |O_1 O_2| = sqrt(7) + 2 ~ 4,65 . Но 4,90 > 4,65 — неравенство треугольника нарушено, такая конфигурация невозможна. Итак, единственный возможный набор расстояний — это |OO_1| = 4 , |OO_2| = sqrt(15) , |O_1 O_2| = 2 (с точностью до перестановки окружностей). Шаг 2. Угол между диагоналями. O_1 O AC и O_2 O BD , поэтому угол между диагоналями AC и BD равен углу O_1 O O_2 (или дополнительному до pi ; синусы одинаковы). По теореме косинусов в O_1 O O_2 : |O_1 O_2|^2 = |OO_1|^2 + |OO_2|^2 - 2|OO_1||OO_2|cos O_1 O O_2; 4 = 16 + 15 - 8sqrt(15) => = (27)/(8sqrt(15)) = (9sqrt(15))/(40). Тогда sin^2alpha = 1 - (729)/(960) = (231)/(960) = (385)/(1600), = (sqrt(385))/(40). Шаг 3. Площадь. Площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними: S = (1)/(2)* AC * BD * = (1)/(2)* 6 * 2 * (sqrt(385))/(40) = (6sqrt(385))/(40) = (3sqrt(385))/(20). Ответ: а) |O_1 O_2| = 2 (доказано). б) S_(ABCD) = (3sqrt(385))/(20) .

3√385/20