А) Решите уравнение (2sin x + 1)/(sqrt(x * tg x)) = 0. Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-pi; 2pi] .

а) Уравнение равносильно системе: cases 2sin x + 1 = 0, x * tg x > 0; cases <=> cases sin x = -(1)/(2), x * tg x > 0. cases Из sin x = -(1)/(2) получаем две серии: x = -(pi)/(6) + 2pi k, k in Z, 1 x = -(5pi)/(6) + 2pi n, n in Z. 2 Рассмотрим ОДЗ x * tg x > 0 для каждой серии. Серия (1): x = -(pi)/(6) + 2pi k — точки лежат в IV четверти числовой окружности, где tg x < 0 . Значит, для x * tg x > 0 требуется x < 0 : -(pi)/(6) + 2pi k < 0 <=> k < (1)/(12) <=> k 0, k in Z. Серия (2): x = -(5pi)/(6) + 2pi n — точки лежат в III четверти, где tg x > 0 . Значит, требуется x > 0 : -(5pi)/(6) + 2pi n > 0 <=> n > (5)/(12) <=> n in N. Ответ (а): -(pi)/(6) + 2pi k, k 0; -(5pi)/(6) + 2pi n, n in N . б) Корни на отрезке [-pi; 2pi] . Для серии x = -(pi)/(6) + 2pi k ( k 0 ): 1. k = 0 : x = -(pi)/(6) in [-pi; 2pi] ; 2. k = -1 : x = -(pi)/(6) - 2pi = -(13pi)/(6) < -pi — не подходит; 3. при k -1 : x -(13pi)/(6) < -pi . Для серии x = -(5pi)/(6) + 2pi n ( n in N ): 1. n = 1 : x = -(5pi)/(6) + 2pi = (7pi)/(6) in [-pi; 2pi] ; 2. n = 2 : x = (19pi)/(6) > 2pi — не подходит; 3. при n 2 : x (19pi)/(6) > 2pi . Ответ (б): -(pi)/(6); (7pi)/(6).

а) $-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z},\ k \le 0;\ -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{N}$. б) $-\dfrac{\pi}{6};\ \dfrac{7\pi}{6}$.