Задача №16467

а) Решите уравнение
$\sqrt{1-{\cos }^{2}x}+\sqrt{3}\cos 2x=0\text{.}$

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Решим уравнение

$$\sqrt{1-{\cos }^{2}x}+\sqrt{3}\cos 2x=0.$$

Используем тождества $1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x\text{,}$ поэтому $\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=|\sin x|\text{,}$ и $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x\text{:}$

$$|\sin x|+\sqrt{3}(1-2{\sin }^{2}x)=0,$$ $$2\sqrt{3}{\sin }^{2}x-|\sin x|-\sqrt{3}=0.$$

Заметим, что ${\sin }^{2}x=|\sin x{|}^2\text{.}$ Сделаем замену $t=|\sin x|,t⩾0\text{:}$

$$2\sqrt{3}{t}^2-t-\sqrt{3}=0.$$

Дискриминант $D=1+24=25\text{.}$ Корни:

$$t=\frac{1\pm 5}{4\sqrt{3}},$$

то есть $t_1=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ (отрицательный, не подходит) и $t_2=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$

Итак, $|\sin x|=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ то есть $\sin x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$ Решения:

$$x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

Подставляем целые значения $n$ в формулы $x=\frac{\pi }{3}+\pi n$ и $x=-\frac{\pi }{3}+\pi n\text{:}$

1. $n=0\text{:}$ $x=\frac{\pi }{3}$ (в отрезке) и $x=-\frac{\pi }{3}$ (в отрезке).
2. $n=-1\text{:}$ $x=\frac{\pi }{3}-\pi =-\frac{2\pi }{3}$ (в отрезке); $x=-\frac{\pi }{3}-\pi =-\frac{4\pi }{3}$ (вне отрезка).
3. $n=1\text{:}$ оба корня $⩾\frac{2\pi }{3}>\frac{\pi }{2}$ (вне отрезка).

Итого три корня: $-\frac{2\pi }{3},-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\text{.}$

Ответ:

а) $x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

б) $-\frac{2\pi }{3},-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}$