а) Решите уравнение sqrt(1 - cos^2 x) + sqrt(3)cos 2x = 0 . б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-pi; (pi)/(2)] .

а) Решим уравнение sqrt(1 - cos^2 x) + sqrt(3)cos 2x = 0. Используем тождества 1 - cos^2 x = sin^2 x , поэтому sqrt(1 - cos^2 x) = |sin x| , и cos 2x = 1 - 2sin^2 x : |sin x| + sqrt(3)(1 - 2sin^2 x) = 0, 2sqrt(3)sin^2 x - |sin x| - sqrt(3) = 0. Заметим, что sin^2 x = |sin x|^2 . Сделаем замену t = |sin x|, t 0 : 2sqrt(3)t^2 - t - sqrt(3) = 0. Дискриминант D = 1 + 24 = 25 . Корни: t = (1 +- 5)/(4sqrt(3)), то есть t_1 = -(1)/(sqrt(3)) (отрицательный, не подходит) и t_2 = (sqrt(3))/(2) . Итак, |sin x| = (sqrt(3))/(2) , то есть sin x = +-(sqrt(3))/(2) . Решения: x = +-(pi)/(3) + pi n, n in Z. б) Найдём корни на отрезке [-pi; (pi)/(2)] . Подставляем целые значения n в формулы x = (pi)/(3) + pi n и x = -(pi)/(3) + pi n : 1. n = 0 : x = (pi)/(3) (в отрезке) и x = -(pi)/(3) (в отрезке). 2. n = -1 : x = (pi)/(3) - pi = -(2pi)/(3) (в отрезке); x = -(pi)/(3) - pi = -(4pi)/(3) (вне отрезка). 3. n = 1 : оба корня (2pi)/(3) > (pi)/(2) (вне отрезка). Итого три корня: -(2pi)/(3), -(pi)/(3), (pi)/(3) . Ответ: а) x = +-(pi)/(3) + pi n, n in Z б) -(2pi)/(3), -(pi)/(3), (pi)/(3)

А) $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$; Б) $-\dfrac{2\pi}{3},\ -\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{\pi}{3}$