Задача №16462

Решите уравнение

$$\frac{{\log }_3\left(x^2+2x\right)}{{\log }_3\left(x^2-4x-4\right)}=\frac{{\log }_{5}8}{{\log }_5\left(x^2-4x-4\right)}.$$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший корень.

Перейдём к одному основанию логарифма. Исходное уравнение равносильно:

$$\frac{\ln (x^2+2x)}{\ln (x^2-4x-4)}=\frac{\ln 8}{\ln (x^2-4x-4)}.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{\ln (x^2+2x)-\ln 8}{\ln (x^2-4x-4)}=0.$$

Это уравнение выполняется при числителе равном нулю и ненулевом знаменателе. Условие ОДЗ: $x^2+2x>0\text{,}$ $x^2-4x-4>0\text{,}$ $x^2-4x-4\ne 1\text{.}$

Из числителя:

$$\ln (x^2+2x)=\ln 8\iff x^2+2x-8=0\iff x_1=-4,x_2=2.$$

Проверим каждый корень по ОДЗ.

При $x=2\text{:}$ $x^2-4x-4=4-8-4=-8<0$ — не подходит.

При $x=-4\text{:}$ $x^2+2x=16-8=8>0\text{,}$ $x^2-4x-4=16+16-4=28>0\text{,}$ $28\ne 1$ — подходит.

Ответ: $-4$