Задача №16457

Дан угол величиной $120^{\circ }$ с вершиной $C\text{.}$ Вне угла, на продолжении его биссектрисы, взята точка $O$ так, что $OC=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{.}$ Построена окружность с центром в точке $O$ радиуса $1\text{,}$ пересекающая стороны угла в точках $A$ и $B\text{.}$

А) Докажите, что $OC=BC=CA\text{.}$
Б) Найдите площадь фигуры, ограниченной сторонами угла и дугой окружности, заключённой между ними.

Пусть $CL$ — биссектриса угла $C$ величиной $120^{\circ }\text{,}$ тогда $\angle ACL=\angle BCL=60^{\circ }\text{.}$ Точка $O$ лежит на продолжении биссектрисы вне угла, поэтому углы $\angle ACO$ и $\angle BCO$ — смежные с $\angle ACL$ и $\angle BCL\text{,}$ и $\angle ACO=\angle BCO=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }\text{.}$

А) Рассмотрим $△AOC\text{:}$ $OA=1$ (радиус), $OC=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{,}$ $\angle ACO=120^{\circ }\text{.}$ По теореме синусов:

$$\frac{OA}{\sin \angle ACO}=\frac{OC}{\sin \angle OAC}\Rightarrow \frac{1}{\sin 120^{\circ }}=\frac{1/\sqrt{3}}{\sin \angle OAC}.$$

Отсюда $\sin \angle OAC=\frac{\sin 120^{\circ }}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\text{,}$ значит, $\angle OAC=30^{\circ }\text{.}$

Тогда $\angle AOC=180^{\circ }-120^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }\text{.}$ Треугольник $△AOC$ равнобедренный (при $\angle OAC=\angle AOC=30^{\circ }$), значит, $AC=OC=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{.}$

Аналогично из $△BOC$ получаем $BC=OC=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{.}$ Следовательно, $OC=BC=CA\text{.}$ $\square$

Б) Углы $\angle AOC=\angle BOC=30^{\circ }\text{,}$ поэтому $\angle AOB=60^{\circ }\text{.}$

Площадь сектора $AOB$ окружности радиуса $1\text{:}$

$$S_{\text{сект}}=\frac{60^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot \pi \cdot 1^2=\frac{\pi }{6}.$$

Точка $C$ лежит внутри $△AOB$ (на отрезке от $O$ к хорде $AB$). Площадь четырёхугольника $AOBC$ (объединение двух равных треугольников $△AOC$ и $△BOC$):

$$S_{AOBC}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot CA\cdot CO\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}.$$

Искомая фигура (между сторонами угла $C$ и дугой $AB\text{,}$ не содержащая $O$) равна разности площади сектора $AOB$ и площади четырёхугольника $AOBC\text{:}$

$$S=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\pi -\sqrt{3}}{6}.$$

Ответ: $\frac{\pi -\sqrt{3}}{6}\text{.}$