Дан угол величиной 120^ с вершиной C. Вне угла, на продолжении его биссектрисы, взята точка O так, что OC = (1)/(sqrt(3)). Построена окружность с центром в точке O радиуса 1, пересекающая стороны угла в точках A и B. А) Докажите, что OC = BC = CA. Б) Найдите площадь фигуры, ограниченной сторонами угла и дугой окружности, заключённой между ними.

Пусть CL — биссектриса угла C величиной 120^, тогда ACL = BCL = 60^. Точка O лежит на продолжении биссектрисы вне угла, поэтому углы ACO и BCO — смежные с ACL и BCL, и ACO = BCO = 180^ - 60^ = 120^. А) Рассмотрим AOC: OA = 1 (радиус), OC = (1)/(sqrt(3)), ACO = 120^. По теореме синусов: (OA)/(sin ACO) = (OC)/(sin OAC) =>(1)/(sin 120^) = (1/sqrt(3))/(sin OAC). Отсюда sin OAC = (sin 120^)/(sqrt(3)) = (sqrt(3)/2)/(sqrt(3)) = (1)/(2), значит, OAC = 30^. Тогда AOC = 180^ - 120^ - 30^ = 30^. Треугольник AOC равнобедренный (при OAC = AOC = 30^), значит, AC = OC = (1)/(sqrt(3)). Аналогично из BOC получаем BC = OC = (1)/(sqrt(3)). Следовательно, OC = BC = CA. Б) Углы AOC = BOC = 30^, поэтому AOB = 60^. Площадь сектора AOB окружности радиуса 1: S_(сект) = (60^)/(360^)*pi* 1^2 = (pi)/(6). Точка C лежит внутри AOB (на отрезке от O к хорде AB). Площадь четырёхугольника AOBC (объединение двух равных треугольников AOC и BOC): S_(AOBC) = 2*(1)/(2)* CA* CO*sin 120^ = (1)/(sqrt(3))*(1)/(sqrt(3))*(sqrt(3))/(2) = (sqrt(3))/(6). Искомая фигура (между сторонами угла C и дугой AB, не содержащая O) равна разности площади сектора AOB и площади четырёхугольника AOBC: S = (pi)/(6) - (sqrt(3))/(6) = (pi - sqrt(3))/(6). Ответ: (pi - sqrt(3))/(6).

$\dfrac{\pi - \sqrt{3}}{6}$