В выпуклом четырёхугольнике ABCD сторона AB = 5, BC = CD = sqrt(52), AD = 5. А) Докажите, что диагональ BD точкой пересечения диагоналей делится пополам. Б) Найдите площадь ABCD, если все отрезки диагоналей, на которые их делит точка пересечения, являются целыми числами.

Дано. Выпуклый четырёхугольник ABCD: AB = 5, BC = CD = sqrt(52), AD = 5. Пусть O — точка пересечения диагоналей. А) Доказательство, что BO = DO. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. У них AB = AD = 5, BC = DC = sqrt(52), сторона AC — общая. По трём сторонам ABC = ADC, откуда BAC = DAC, то есть BAO = DAO. Теперь сравним ABO и ADO: AB = AD = 5, AO — общая сторона, BAO = DAO. По двум сторонам и углу между ними ABO = ADO, следовательно BO = DO, что и требовалось. Б) Нахождение площади ABCD. Из пункта А) BAD — равнобедренный (AB = AD = 5), а AO — медиана к основанию BD, значит AO является и высотой: AO BD, то есть AC BD. Тогда S_(ABCD) = (1)/(2) AC * BD. Пусть AO = x, BO = y, CO = z, где x, y, z — целые числа (по условию). По теореме Пифагора из AOB и BOC: cases x^2 + y^2 = AB^2 = 25, z^2 + y^2 = BC^2 = 52. cases Ищем целые решения. Из первого уравнения подходит x = 3, y = 4 (тогда 9 + 16 = 25). Подставляем во второе: z^2 = 52 - 16 = 36, z = 6. Тогда AC = AO + OC = x + z = 3 + 6 = 9, BD = 2y = 8 (так как BO = DO). Площадь: S_(ABCD) = (1)/(2) * 9 * 8 = 36. Ответ: Б) 36.

Б) $S_{ABCD} = 36$.