Задача №16456

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ сторона $AB=5\text{,}$ $BC=CD=\sqrt{52}\text{,}$ $AD=5\text{.}$

А) Докажите, что диагональ $BD$ точкой пересечения диагоналей делится пополам.
Б) Найдите площадь $ABCD\text{,}$ если все отрезки диагоналей, на которые их делит точка пересечения, являются целыми числами.

Дано. Выпуклый четырёхугольник $ABCD\text{:}$ $AB=5\text{,}$ $BC=CD=\sqrt{52}\text{,}$ $AD=5\text{.}$ Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей.

А) Доказательство, что $BO=DO\text{.}$

Рассмотрим треугольники $△ABC$ и $△ADC\text{.}$ У них $AB=AD=5\text{,}$ $BC=DC=\sqrt{52}\text{,}$ сторона $AC$ — общая. По трём сторонам $△ABC=△ADC\text{,}$ откуда $\angle BAC=\angle DAC\text{,}$ то есть $\angle BAO=\angle DAO\text{.}$

Теперь сравним $△ABO$ и $△ADO\text{:}$ $AB=AD=5\text{,}$ $AO$ — общая сторона, $\angle BAO=\angle DAO\text{.}$ По двум сторонам и углу между ними $△ABO=△ADO\text{,}$ следовательно $BO=DO\text{,}$ что и требовалось.

Б) Нахождение площади $ABCD\text{.}$

Из пункта А) $△BAD$ — равнобедренный ($AB=AD=5$), а $AO$ — медиана к основанию $BD\text{,}$ значит $AO$ является и высотой: $AO\perp BD\text{,}$ то есть $AC\perp BD\text{.}$ Тогда

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD.$$

Пусть $AO=x\text{,}$ $BO=y\text{,}$ $CO=z\text{,}$ где $x,y,z$ — целые числа (по условию). По теореме Пифагора из $△AOB$ и $△BOC\text{:}$

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=A{B}^2=25,\\ z^2+y^2=B{C}^2=52.\end{array}$$

Ищем целые решения. Из первого уравнения подходит $x=3,y=4$ (тогда $9+16=25$). Подставляем во второе: $z^2=52-16=36\text{,}$ $z=6\text{.}$

Тогда $AC=AO+OC=x+z=3+6=9\text{,}$ $BD=2y=8$ (так как $BO=DO$). Площадь:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 8=36.$$

Ответ: Б) $36\text{.}$