Задача №16455

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при которых уравнение

$$a^2-ax-2x^2-0,5x-2a+|a+2,5x|=0$$

имеет ровно три различных корня.

Решение уравнения $a^2-ax-2x^2-0,5x-2a+|a+2,5x|=0\text{.}$

Раскрываем модуль по знаку выражения $a+2,5x\text{.}$

Случай 1: $a⩾-2,5x\text{.}$ Тогда $|a+2,5x|=a+2,5x\text{,}$ и уравнение принимает вид

$$a^2-ax-2x^2-0,5x-2a+a+2,5x=0\iff a^2-(x+1)a+2x(1-x)=0.$$

Корни (по теореме Виета или прямым разложением): $a=2x$ или $a=1-x\text{.}$

Случай 2: $a<-2,5x\text{.}$ Тогда $|a+2,5x|=-(a+2,5x)\text{,}$ и уравнение принимает вид

$$a^2-ax-2x^2-0,5x-2a-a-2,5x=0\iff a^2-(x+3)a-x(2x+3)=0.$$

Корни: $a=-x$ или $a=2x+3\text{.}$

Изобразим в системе $xOa$ четыре прямые с учётом области, в которой каждая из них действительна (граница $a=-2,5x$):

• $a=2x$ — действительна при $a⩾-2,5x$ (то есть $2x⩾-2,5x\text{,}$ $x⩾0$);
• $a=1-x$ — при $1-x⩾-2,5x\text{,}$ $x⩾-2/3\text{;}$
• $a=-x$ — при $-x<-2,5x\text{,}$ $x<0\text{;}$
• $a=2x+3$ — при $2x+3<-2,5x\text{,}$ $x<-2/3\text{.}$

Ищем горизонтальные сечения $a=\text{const}\text{,}$ которые пересекают "график" решений ровно в трёх точках. Эти трёх-точечные пересечения возникают на уровнях, где горизонталь проходит через узловые точки графика:

• $A\text{:}$ пересечение $a=1-x$ и $a=2x+3\text{.}$ Из системы $1-x=2x+3$ получаем $x=-2/3\text{,}$ $a=5/3\text{.}$
• $B\text{:}$ пересечение $a=2x+3$ и $a=-x\text{:}$ $2x+3=-x\Rightarrow x=-1\text{,}$ $a=1\text{.}$
• $C\text{:}$ пересечение $a=2x$ и $a=1-x\text{:}$ $2x=1-x\Rightarrow x=1/3\text{,}$ $a=2/3\text{.}$
• В начале координат $(0;0)$ ветви $a=2x$ и $a=-x$ сходятся; уровень $a=0$ даёт ровно три различных корня $x\text{.}$

Каждый из уровней $a\in \{0;2/3;1;5/3\}$ даёт ровно три различных корня по $x\text{.}$

Ответ: $a\in \left\{0;\frac{2}{3};1;\frac{5}{3}\right\}\text{.}$