Найдите все значения параметра a , при которых уравнение a^2 - ax - 2x^2 - 0,5x - 2a + |a + 2,5x| = 0 имеет ровно три различных корня.

Решение уравнения a^2 - ax - 2x^2 - 0,5x - 2a + |a + 2,5x| = 0 . Раскрываем модуль по знаку выражения a + 2,5x . Случай 1: a -2,5x . Тогда |a + 2,5x| = a + 2,5x , и уравнение принимает вид a^2 - ax - 2x^2 - 0,5x - 2a + a + 2,5x = 0 <=> a^2 - (x + 1)a + 2x(1 - x) = 0. Корни (по теореме Виета или прямым разложением): a = 2x или a = 1 - x . Случай 2: a < -2,5x . Тогда |a + 2,5x| = -(a + 2,5x) , и уравнение принимает вид a^2 - ax - 2x^2 - 0,5x - 2a - a - 2,5x = 0 <=> a^2 - (x + 3)a - x(2x + 3) = 0. Корни: a = -x или a = 2x + 3 . Изобразим в системе xOa четыре прямые с учётом области, в которой каждая из них действительна (граница a = -2,5x ): - a = 2x — действительна при a -2,5x (то есть 2x -2,5x , x 0 ); - a = 1 - x — при 1 - x -2,5x , x -2/3 ; - a = -x — при -x < -2,5x , x < 0 ; - a = 2x + 3 — при 2x + 3 < -2,5x , x < -2/3 . Ищем горизонтальные сечения a = const , которые пересекают "график" решений ровно в трёх точках. Эти трёх-точечные пересечения возникают на уровнях, где горизонталь проходит через узловые точки графика: - A : пересечение a = 1 - x и a = 2x + 3 . Из системы 1 - x = 2x + 3 получаем x = -2/3 , a = 5/3 . - B : пересечение a = 2x + 3 и a = -x : 2x + 3 = -x => x = -1 , a = 1 . - C : пересечение a = 2x и a = 1 - x : 2x = 1 - x => x = 1/3 , a = 2/3 . - В начале координат (0;0) ветви a = 2x и a = -x сходятся; уровень a = 0 даёт ровно три различных корня x . Каждый из уровней a in 0; 2/3; 1; 5/3 даёт ровно три различных корня по x . Ответ: a in 0; (2)/(3); 1; (5)/(3) .

$a \in \left\{0;\ \dfrac{2}{3};\ 1;\ \dfrac{5}{3}\right\}$.