На окружности отмечены точки A, B, C и D так, что AB = BD, ABC = 90^. А) Докажите, что DM = BC, если BM — диаметр окружности. Б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если радиус окружности равен 4, а точка пересечения диагоналей AC и BD делит AC в отношении 1 : 3, считая от вершины C.

**Решение.** **(а) Доказательство.** В треугольнике BDM угол BDM = 90^, поскольку он опирается на диаметр BM. В треугольнике ABC угол ABC = 90^ по условию, значит, AC тоже диаметр окружности. Получаем BDM = ABC как прямоугольные с равными гипотенузами (BM = AC — диаметры) и равным катетом (BD = AB по условию). Следовательно, DM = BC. **(б) Площадь четырёхугольника.** Пусть O — центр окружности, S — точка пересечения диагоналей AC и BD. По условию CS : AS = 1 : 3, и AC = 2R = 8, поэтому CS = 2, AS = 6, откуда OS = AS - AO = 6 - 4 = 2. Пусть BS = x, DS = y. Из (а) DM = BC, поэтому равны и стягивающие их дуги: DM = BC. Тогда DBM = BAC = alpha как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Треугольник AOB равнобедренный (AO = BO = R), поэтому ABO = BAO = alpha. Значит, BO — биссектриса угла ABS. Применим обобщённую формулу биссектрисы в ABS из вершины B к чевиане BO: BO^(2) = AB * BS - AO * OS, то есть 16 = AB * x - 4 * 2, откуда AB * x = 24. Поскольку AB = BD = x + y, получаем (x + y) * x = 24, то есть x^(2) + xy = 24. По свойству пересекающихся хорд: BS * DS = AS * CS, то есть xy = 6 * 2 = 12. Из системы cases x^(2) + xy = 24, xy = 12 cases имеем x^(2) = 12, откуда x = y = 2sqrt(3) (берём положительные). Поскольку x = y, треугольники BOS и DOS равны по трём сторонам (BO = DO = R, BS = DS, OS — общая), значит, BSO = DSO = 90^, и AC BD. Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями: S_(ABCD) = (1)/(2) * AC * BD = (1)/(2) * 8 * 4sqrt(3) = 16sqrt(3). **Ответ:** 16sqrt(3).

$16\sqrt{3}$