На окружности отмечены точки A, B, C и D так, что AB=BD, ∠ABC=90∘.
А) Докажите, что DM=BC, если BM — диаметр окружности.
Б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если радиус окружности равен 4, а точка пересечения диагоналей AC и BD делит AC в отношении 1:3, считая от вершины C.
Решение.
(а) Доказательство. В треугольнике △BDM угол ∠BDM=90∘, поскольку он опирается на диаметр BM. В треугольнике △ABC угол ∠ABC=90∘ по условию, значит, AC тоже диаметр окружности. Получаем △BDM=△ABC как прямоугольные с равными гипотенузами (BM=AC — диаметры) и равным катетом (BD=AB по условию). Следовательно, DM=BC. ■
(б) Площадь четырёхугольника.
Пусть O — центр окружности, S — точка пересечения диагоналей AC и BD. По условию CS:AS=1:3, и AC=2R=8, поэтому CS=2, AS=6, откуда OS=AS−AO=6−4=2.
Пусть BS=x, DS=y. Из (а) DM=BC, поэтому равны и стягивающие их дуги: ⌣DM=⌣BC. Тогда ∠DBM=∠BAC=α как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги.
Треугольник △AOB равнобедренный (AO=BO=R), поэтому ∠ABO=∠BAO=α. Значит, BO — биссектриса угла ∠ABS. Применим обобщённую формулу биссектрисы в △ABS из вершины B к чевиане BO:
BO2=AB⋅BS−AO⋅OS,то есть 16=AB⋅x−4⋅2, откуда AB⋅x=24.
Поскольку AB=BD=x+y, получаем (x+y)⋅x=24, то есть x2+xy=24.
По свойству пересекающихся хорд: BS⋅DS=AS⋅CS, то есть xy=6⋅2=12.
Из системы
{x2+xy=24,xy=12имеем x2=12, откуда x=y=23 (берём положительные).
Поскольку x=y, треугольники △BOS и △DOS равны по трём сторонам (BO=DO=R, BS=DS, OS — общая), значит, ∠BSO=∠DSO=90∘, и AC⊥BD.
Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями:
SABCD=21⋅AC⋅BD=21⋅8⋅43=163.Ответ: 163.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Ларин