Задача №16453

У трёхзначного числа $n=100a+10b+c$ все цифры отличны от нуля. Обозначим через $s$ сумму цифр и через $m$ произведение цифр.

А) Может ли быть, что $s=10m\text{?}$
Б) Сколько существует чисел, у которых $m<s\text{?}$
В) Какие целые значения имеет дробь $k=\frac{m}{s}\text{,}$ если среди цифр числа $n$ есть $1\text{.}$

Условие. $n=100a+10b+c\text{,}$ цифры $a,b,c\in \{1;2;\dots ;9\}$ (все ненулевые), $s=a+b+c\text{,}$ $m=abc\text{.}$

А) Может ли $s=10m\text{?}$

Пусть $c$ — наибольшая из цифр $a,b,c$ (это не ограничение общности, т.к. равенство симметрично по перестановкам). Тогда $s=a+b+c⩽3c\text{,}$ а $10m=10abc⩾10c$ (так как $a⩾1\text{,}$ $b⩾1$). Значит $10m⩾10c⩾\frac{10s}{3}>s\text{,}$ то есть $s<10m$ всегда. Равенство $s=10m$ невозможно.

Ответ А: нет.

Б) Сколько чисел $n$ удовлетворяют $m<s\text{?}$

Перестановка цифр сохраняет $s$ и $m\text{.}$ Найдём упорядоченные тройки $(a,b,c)$ с $a⩽b⩽c$ и $abc<a+b+c\text{.}$

Подслучай $a=1\text{:}$ неравенство $bc<1+b+c$ преобразуется к $(b-1)(c-1)<2\text{.}$ Это значит $(b-1)(c-1)\in \{0;1\}\text{.}$

• $(b-1)(c-1)=0\text{:}$ либо $b=1$ (тогда $c=1,2,\dots ,9$) — 9 троек. Среди них тройка $(1,1,1)$ и тройки $(1,1,c)$ для $c=2,\dots ,9\text{.}$
• $(b-1)(c-1)=1\text{:}$ $b=2$ и $c=2$ — одна тройка $(1,2,2)\text{.}$

Итого $10$ упорядоченных троек:

$(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6),(1,1,7),(1,1,8),(1,1,9),(1,2,2)\text{.}$

Теперь подсчитаем количество чисел $n\text{.}$ Из тройки $(1,1,1)$ получается $1$ число (все цифры одинаковы). Из тройки с двумя одинаковыми цифрами и одной отличающейся ($(1,1,c)$ при $c\ne 1$ — это 8 троек, и $(1,2,2)$ — 1 тройка) получается $\frac{3!}{2!}=3$ числа. Всего: $1+8\cdot 3+1\cdot 3=1+24+3=28\text{.}$

Подслучай $a>1\text{:}$ из $abc<a+b+c$ имеем $a(bc-1)<b+c\text{.}$ Тогда $bc-1⩽a(bc-1)<b+c\text{,}$ то есть $(b-1)(c-1)<2\text{.}$ Возможные пары $(b,c)$ те же, что в $a=1\text{,}$ но при этом $a⩾2\text{.}$ Дополнительная тройка $(2,2,2)\text{:}$ $m=8\text{,}$ $s=6\text{,}$ и $m<s$ не выполняется. Других троек нет.

Ответ Б: $28\text{.}$

В) Целые значения $k=\frac{m}{s}\text{,}$ если среди цифр есть $1\text{.}$

В силу симметрии $s$ и $m$ по перестановкам не важно, какая именно цифра равна $1\text{.}$ Пусть $c=1\text{.}$ Из соотношения $m=ks$ при $c=1\text{:}$

$$ab=k(a+b+1)\iff ab-ka-kb=k\iff (a-k)(b-k)=k(k+1).$$

Если $k⩾5\text{:}$ $a-k⩽9-5=4$ и $b-k⩽4\text{,}$ поэтому $(a-k)(b-k)⩽16\text{,}$ а $k(k+1)⩾5\cdot 6=30>16\text{.}$ Противоречие. Значит $k⩽4\text{.}$

Для $k=1,2,3,4$ приведём примеры (числа с цифрой $1\text{,}$ удовлетворяющие $m=ks$):

Ответ В: $1,2,3,4\text{.}$

Ответ:

А) нет

Б) $28$

В) $1,2,3,4$