У трёхзначного числа n = 100a + 10b + c все цифры отличны от нуля. Обозначим через s сумму цифр и через m произведение цифр. А) Может ли быть, что s = 10m? Б) Сколько существует чисел, у которых m < s? В) Какие целые значения имеет дробь k = (m)/(s), если среди цифр числа n есть 1.

Условие. n = 100a + 10b + c, цифры a, b, c in 1; 2; ; 9 (все ненулевые), s = a + b + c, m = abc. А) Может ли s = 10m? Пусть c — наибольшая из цифр a, b, c (это не ограничение общности, т.к. равенство симметрично по перестановкам). Тогда s = a + b + c 3c, а 10m = 10abc 10c (так как a 1, b 1). Значит 10m 10c (10s)/(3) > s, то есть s < 10m всегда. Равенство s = 10m невозможно. Ответ А: нет. Б) Сколько чисел n удовлетворяют m < s? Перестановка цифр сохраняет s и m. Найдём упорядоченные тройки (a, b, c) с a b c и abc < a + b + c. Подслучай a = 1: неравенство bc < 1 + b + c преобразуется к (b - 1)(c - 1) < 2. Это значит (b-1)(c-1) in 0; 1. - (b-1)(c-1) = 0: либо b = 1 (тогда c = 1, 2, , 9) — 9 троек. Среди них тройка (1,1,1) и тройки (1,1,c) для c = 2,,9. - (b-1)(c-1) = 1: b = 2 и c = 2 — одна тройка (1, 2, 2). Итого 10 упорядоченных троек: (1,1,1), (1,1,2), (1,1,3), (1,1,4), (1,1,5), (1,1,6), (1,1,7), (1,1,8), (1,1,9), (1,2,2). Теперь подсчитаем количество чисел n. Из тройки (1,1,1) получается 1 число (все цифры одинаковы). Из тройки с двумя одинаковыми цифрами и одной отличающейся ((1,1,c) при c != 1 — это 8 троек, и (1,2,2) — 1 тройка) получается (3!)/(2!) = 3 числа. Всего: 1 + 8 * 3 + 1 * 3 = 1 + 24 + 3 = 28. Подслучай a > 1: из abc < a + b + c имеем a(bc - 1) < b + c. Тогда bc - 1 a(bc - 1) < b + c, то есть (b-1)(c-1) < 2. Возможные пары (b, c) те же, что в a = 1, но при этом a 2. Дополнительная тройка (2, 2, 2): m = 8, s = 6, и m < s не выполняется. Других троек нет. Ответ Б: 28. В) Целые значения k = (m)/(s), если среди цифр есть 1. В силу симметрии s и m по перестановкам не важно, какая именно цифра равна 1. Пусть c = 1. Из соотношения m = ks при c = 1: ab = k(a + b + 1) <=> ab - ka - kb = k <=> (a - k)(b - k) = k(k+1). Если k 5: a - k 9 - 5 = 4 и b - k 4, поэтому (a-k)(b-k) 16, а k(k+1) 5 * 6 = 30 > 16. Противоречие. Значит k 4. Для k = 1, 2, 3, 4 приведём примеры (числа с цифрой 1, удовлетворяющие m = ks): | n | m | s | k | |---|---|---|---| | 231 | 6 | 6 | 1 | | 381 | 24 | 12 | 2 | | 591 | 45 | 15 | 3 | | 891 | 72 | 18 | 4 | Ответ В: 1, 2, 3, 4. Ответ: А) нет Б) 28 В) 1, 2, 3, 4

А) нет; Б) $28$; В) $1,\ 2,\ 3,\ 4$