Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 6321. А) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна пяти. Б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 91? В) Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.

Число интересное, если в его четырёхзначной записи нет нулей и одна из четырёх цифр равна сумме трёх других. В этом случае сумма всех цифр чётна (она равна удвоенной выделенной цифре). А) Возьмём 1236 и 1241 : 1. 1236 : цифры 1,2,3,6 ; 1 + 2 + 3 = 6 — интересное; 2. 1241 : цифры 1,2,4,1 ; 1 + 2 + 1 = 4 — интересное. Разность 1241 - 1236 = 5 . Б) Нет. Допустим противное: существует интересное четырёхзначное число n = abcd такое, что m = n + 91 тоже интересное. Рассмотрим переход от n к m = n + 91 по разрядам. Если d = 9 : единичный разряд m равен 9 + 1 - 10 = 0 (с переносом 1). Тогда у m есть нуль, что невозможно для интересного числа. Если d < 9 и c = 9 : при d < 9 переноса в десятки нет, разряд десятков m равен 9 + 9 - 10 = 8 с переносом 1 в сотни. Если b = 9 , то сотни m равны 0 — невозможно. Если b < 9 , то m без нулей, но тогда сумма цифр m = a + (b+1) + 8 + (d+1) = a + b + d + 10 , а у n сумма a + b + 9 + d = a + b + d + 9 . Они отличаются на 1 , значит, имеют разную чётность. Чётность суммы цифр интересного числа равна 0 , поэтому либо n , либо m не интересное. Противоречие. Если d < 9 и c < 9 : единицы m равны d + 1 , десятки равны c + 9 - 10 = c - 1 с переносом 1, сотни равны b + 1 . Если c = 1 , десятки m равны 0 — невозможно. Если c > 1 и b < 9 : цифры m суть a,b+1,c-1,d+1 , их сумма равна a + b + c + d + 1 , что отличается от чётной суммы цифр n на 1 , значит, нечётна. Но интересное число имеет чётную сумму цифр. Противоречие. Если d < 9 , c < 9 , b = 9 : сотни m = 9 + 1 - 10 = 0 с переносом в тысячи. У m есть нуль — невозможно. Во всех случаях m либо содержит нуль, либо имеет нечётную сумму цифр — то есть не интересное. Противоречие. В) Покажем сначала, что 1,3,5,7,9 имеют интересные четырёхзначные кратные: 1. 1 : всякое интересное число делится на 1 (например, 6321 ); 2. 3 : 1113 = 3 * 371 , цифры 1,1,1,3 , 1 + 1 + 1 = 3 ; 3. 5 : 1135 = 5 * 227 , цифры 1,1,3,5 , 1 + 1 + 3 = 5 ; 4. 7 : 1113 = 7 * 159 — то же интересное число, что для 3 ; 5. 9 : 1179 = 9 * 131 , цифры 1,1,7,9 , 1 + 1 + 7 = 9 . Покажем, что 11 не имеет интересного четырёхзначного кратного. Допустим противное: n = abcd интересное и n 11 . Тогда a + b + c + d — чётная (свойство интересных чисел). По признаку делимости на 11 : n 11 <=> (a + c) - (b + d) 11. Так как a,b,c,d in 1,,9 , имеем a + c,b + d in [2;18] , значит, (a + c) - (b + d) in [-16;16] и делится на 11 только в случаях -11;0;11 . Случай (a + c) - (b + d) = +- 11 : тогда a + b + c + d = (a + c) + (b + d) — сумма двух чисел, отличающихся на нечётное 11 , поэтому имеет нечётную чётность. Противоречит чётности суммы цифр. Случай (a + c) - (b + d) = 0 : тогда a + c = b + d . Рассмотрим случай, когда a = b + c + d (остальные три случая — когда другая цифра равна сумме трёх остальных — разбираются аналогично с подстановкой b - d = 2c , a - c = 2d и т. д.). Из a = b + c + d имеем a - c = b + d , то есть a - b - c - d + b + d = 2c , откуда a - c = 2c , a = 3c и при a + c = b + d получаем 4c = b + d . Но в то же время a = b + c + d = (b + d) + c = 4c + c = 5c , что вместе с a = 3c даёт 5c = 3c , то есть c = 0 . Но в интересном числе нет нулей. Противоречие. Все случаи исключены, значит, 11 не имеет интересного четырёхзначного кратного. Ответ: А) Например, 1236 и 1241 . Б) Нет. В) 11 .

А) Например, $1236$ и $1241$. Б) Нет. В) $11$.