Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение x - 3 + (1)/(x^2) = ax имеет ровно три различных корня.

Решение уравнения x - 3 + (1)/(x^2) = ax . Из условия x != 0 . Умножим обе части на x^2 : x^3 - 3x^2 + 1 = ax^3 <=> (1 - a)x^3 - 3x^2 + 1 = 0. Требуется найти все a , при которых уравнение имеет ровно три различных вещественных ненулевых корня. **Случай 1:** 1 - a = 0 , то есть a = 1 . Уравнение принимает вид -3x^2 + 1 = 0 , то есть x = +- (1)/(sqrt(3)) — только два корня. Не подходит. **Случай 2:** a != 1 . Рассмотрим f(x) = (1 - a)x^3 - 3x^2 + 1 . Заметим, что f(0) = 1 != 0 , поэтому x = 0 корнем не является. Кубический многочлен имеет ровно три различных вещественных корня тогда и только тогда, когда у него ровно две точки экстремума и значения функции в этих точках имеют разные знаки. f'(x) = 3(1-a)x^2 - 6x = 3x((1-a)x - 2). Критические точки: x_1 = 0 и x_2 = (2)/(1-a) (так как a != 1 ). f(x_1) = f(0) = 1. f(x_2) = (1-a)* (8)/((1-a)^3) - 3 * (4)/((1-a)^2) + 1 = (8)/((1-a)^2) - (12)/((1-a)^2) + 1 = ((1-a)^2 - 4)/((1-a)^2). Условие наличия трёх корней: f(x_1) * f(x_2) < 0 , то есть ((1-a)^2 - 4)/((1-a)^2) < 0. Знаменатель положителен, поэтому (1-a)^2 - 4 < 0 , то есть (1 - a - 2)(1 - a + 2) < 0 <=> (-1 - a)(3 - a) < 0 <=> (1 + a)(a - 3) < 0 <=> -1 < a < 3. Исключая a = 1 , получаем a in (-1; 1) U (1; 3) . Ответ: a in (-1; 1) U (1; 3) .

$a \in (-1;\ 1) \cup (1;\ 3)$