Задача №16451

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$x-3+\frac{1}{x^2}=ax$$

имеет ровно три различных корня.

Решение уравнения $x-3+\frac{1}{x^2}=ax\text{.}$

Из условия $x\ne 0\text{.}$ Умножим обе части на $x^2\text{:}$

$$x^3-3x^2+1=a{x}^3\iff (1-a)x^3-3x^2+1=0.$$

Требуется найти все $a\text{,}$ при которых уравнение имеет ровно три различных вещественных ненулевых корня.

Случай 1: $1-a=0\text{,}$ то есть $a=1\text{.}$

Уравнение принимает вид $-3x^2+1=0\text{,}$ то есть $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ — только два корня. Не подходит.

Случай 2: $a\ne 1\text{.}$

Рассмотрим $f(x)=(1-a)x^3-3x^2+1\text{.}$ Заметим, что $f(0)=1\ne 0\text{,}$ поэтому $x=0$ корнем не является.

Кубический многочлен имеет ровно три различных вещественных корня тогда и только тогда, когда у него ровно две точки экстремума и значения функции в этих точках имеют разные знаки.

$$f^{\prime }(x)=3(1-a)x^2-6x=3x((1-a)x-2).$$

Критические точки: $x_1=0$ и $x_2=\frac{2}{1-a}$ (так как $a\ne 1$).

$$f(x_1)=f(0)=1.$$ $$f(x_2)=(1-a)\cdot \frac{8}{(1-a{)}^3}-3\cdot \frac{4}{(1-a{)}^2}+1=\frac{8}{(1-a{)}^2}-\frac{12}{(1-a{)}^2}+1=\frac{(1-a{)}^2-4}{(1-a{)}^2}.$$

Условие наличия трёх корней: $f(x_1)\cdot f(x_2)<0\text{,}$ то есть

$$\frac{(1-a{)}^2-4}{(1-a{)}^2}<0.$$

Знаменатель положителен, поэтому $(1-a{)}^2-4<0\text{,}$ то есть

$$(1-a-2)(1-a+2)<0\iff (-1-a)(3-a)<0\iff (1+a)(a-3)<0\iff -1<a<3.$$

Исключая $a=1\text{,}$ получаем $a\in (-1;1)\cup (1;3)\text{.}$

Ответ: $a\in (-1;1)\cup (1;3)\text{.}$