Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Функции и начала анализа
Ларин
Найдите точку максимума функции y=−5x3+x⋅∣x−1∣ на отрезке [0;2].
Раскроем модуль на отрезке [0;2].
На [0;1): ∣x−1∣=1−x, поэтому
y=−5x3+x(1−x)=−5x3−x2+x.Производная:
y′=−15x2−2x+1.Корни −15x2−2x+1=0⇔15x2+2x−1=0:
x=30−2±4+60=30−2±8.Корни x=51=0,2 и x=−31. На [0;1) лежит только x=0,2.
Знак y′: квадратичная −15x2−2x+1 ветвями вниз, между корнями положительна. Значит y′(0)=1>0, y′(0,2)=0, y′(1−)=−15−2+1=−16<0. Следовательно в x=0,2 — максимум.
На [1;2]: ∣x−1∣=x−1, поэтому
y=−5x3+x(x−1)=−5x3+x2−x.Производная:
y′=−15x2+2x−1.Дискриминант D=4−60=−56<0, корней нет; так как старший коэффициент отрицателен, y′<0 всюду. На [1;2] функция убывает.
Сравнение значений на отрезке [0;2]:
Наибольшее значение в x=0,2. Это и точка максимума функции на отрезке.
Ответ: 0,2