Найдите точку максимума функции y = -5x^3 + x * |x - 1| на отрезке [0;2] .

Раскроем модуль на отрезке [0;2] . На [0;1) : |x - 1| = 1 - x , поэтому y = -5x^3 + x(1 - x) = -5x^3 - x^2 + x. Производная: y' = -15x^2 - 2x + 1. Корни -15x^2 - 2x + 1 = 0 <=> 15x^2 + 2x - 1 = 0 : x = (-2 +- sqrt(4 + 60))/(30) = (-2 +- 8)/(30). Корни x = (1)/(5) = 0,2 и x = -(1)/(3) . На [0;1) лежит только x = 0,2 . Знак y' : квадратичная -15x^2 - 2x + 1 ветвями вниз, между корнями положительна. Значит y'(0) = 1 > 0 , y'(0,2) = 0 , y'(1^-) = -15 - 2 + 1 = -16 < 0 . Следовательно в x = 0,2 — максимум. На [1;2] : |x - 1| = x - 1 , поэтому y = -5x^3 + x(x - 1) = -5x^3 + x^2 - x. Производная: y' = -15x^2 + 2x - 1. Дискриминант D = 4 - 60 = -56 < 0 , корней нет; так как старший коэффициент отрицателен, y' < 0 всюду. На [1;2] функция убывает. Сравнение значений на отрезке [0;2] : - y(0) = 0 , - y(0,2) = -5 * 0,008 + 0,2 * 0,8 = -0,04 + 0,16 = 0,12 , - y(1) = -5 + 0 = -5 , - y(2) = -40 + 2 = -38 . Наибольшее значение в x = 0,2 . Это и точка максимума функции на отрезке. Ответ: 0,2

0,2