Задача №16447

В копилке $10$ монет по $1$ руб., $11$ монет по $2$ руб., $12$ монет по $5$ руб. (всего $33$). Аристарх по одной достаёт монеты, пока в кармане не окажется ровно $5$ рублей (то есть сумма впервые становится равной $5$).

Найдём вероятность того, что он вытащил ровно $3$ монеты в момент, когда сумма впервые достигла $5$ рублей.

Возможные пути достижения $5$ рублей:

• $1$ монета: $\{5\}\text{.}$
• $3$ монеты: единственный набор $\{1;2;2\}$ (порядки: $(1;2;2)\text{,}$ $(2;1;2)\text{,}$ $(2;2;1)$ — во всех суммы $1;3;5$ либо $2;3;5$ либо $2;4;5\text{,}$ ни одна промежуточная не равна $5$).
• $4$ монеты: набор $\{1;1;1;2\}$ ($4$ порядка по позиции «двойки»).
• $5$ монет: набор $\{1;1;1;1;1\}$ (единственный порядок).

Найдём вероятности каждого пути.

$P_1=\frac{12}{33}$ (сразу пятёрка).

$P_3\text{:}$ вероятность каждого упорядоченного варианта набора $\{1;2;2\}$ — например, $(2;2;1)\text{:}$

$$\frac{11}{33}\cdot \frac{10}{32}\cdot \frac{10}{31}=\frac{1100}{33\cdot 32\cdot 31}.$$

Для каждого из трёх порядков числитель одинаков ($11\cdot 10\cdot 10=1100$), знаменатель тот же. Итого:

$$P_3=3\cdot \frac{1100}{33\cdot 32\cdot 31}=\frac{3300}{32736}.$$

$P_4$ (набор $\{1;1;1;2\}$): для каждого порядка вероятность $\frac{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{33\cdot 32\cdot 31\cdot 30}=\frac{7920}{982080}\text{.}$ Четыре порядка:

$$P_4=4\cdot \frac{7920}{982080}=\frac{31680}{982080}.$$ $$P_5=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{33\cdot 32\cdot 31\cdot 30\cdot 29}=\frac{30240}{28480320}.$$

Переведём в десятичные:

• $P_1\approx 0,363636\text{;}$
• $P_3\approx 0,100806\text{;}$
• $P_4\approx 0,032258\text{;}$
• $P_5\approx 0,001062\text{.}$

Сумма $P_1+P_3+P_4+P_5\approx 0,497762\text{.}$

$$P(\text{ровно }3\text{ монеты}\mid \text{сумма}=5)=\frac{P_3}{P_1+P_3+P_4+P_5}\approx \frac{0,100806}{0,497762}\approx 0,20253.$$

Округляем до десятитысячных: $0,2025\text{.}$

Ответ: $0,2025\text{.}$