Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система cases (y + x^2 - 4x - 5)(x - y + 1) 0 y - ax + 6a - 2 = 0 x 4 cases имеет хотя бы одно решение.

Преобразуем систему: (y + x^2 - 4x - 5)(x - y + 1) 0 <=>(y - (-x^2 + 4x + 5))(y - (x + 1)) 0. Получаем равносильную систему: cases (y - (-x^2 + 4x + 5))(y - (x + 1)) 0 y = a(x - 6) + 2 x 4 cases. Первое неравенство (при x 4) задаёт область, заключённую между параболой y = -x^2 + 4x + 5 и прямой y = x + 1. Точки их пересечения: x_1 = -1, y_1 = 0; x_2 = 4, y_2 = 5. Уравнение y = a(x - 6) + 2 — семейство прямых с угловым коэффициентом a, проходящих через точку M(6;2). При a 0 прямая всегда пересекает указанную область, значит система имеет решения. При a < 0 найдём граничный случай — касание прямой и параболы. Условия касания при x 4: cases a = -2x + 4 a(x - 6) + 2 = -x^2 + 4x + 5 cases <=>cases a = -2x + 4 x^2 - 12x + 27 = 0 cases. Корни: x = 3 (тогда a = -2, x 4 — подходит) и x = 9 (не подходит, 9 > 4). Альтернативный путь — через дискриминант: подставляя прямую в параболу, получаем x^2 + (a - 4)x - 6a - 3 = 0, дискриминант D = (a - 4)^2 + 4(6a + 3) = a^2 + 16a + 28 = (a + 2)(a + 14) = 0. Корни a = -2 (тогда абсцисса касания x_0 = 3 4 — подходит) или a = -14 (тогда x_0 = 9 > 4 — не подходит). При -2 a < 0 прямая ещё пересекает область решений, при a < -2 — уже нет. Условию задачи удовлетворяют a -2. Ответ: a in [-2;+inf).

$a \in [-2;\, +\infty)$