Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
⎩⎨⎧(y+x2−4x−5)(x−y+1)⩾0y−ax+6a−2=0x⩽4имеет хотя бы одно решение.
Преобразуем систему:
(y+x2−4x−5)(x−y+1)⩾0⇔(y−(−x2+4x+5))(y−(x+1))⩽0.Получаем равносильную систему:
⎩⎨⎧(y−(−x2+4x+5))(y−(x+1))⩽0y=a(x−6)+2x⩽4.Первое неравенство (при x⩽4) задаёт область, заключённую между параболой y=−x2+4x+5 и прямой y=x+1. Точки их пересечения: x1=−1, y1=0; x2=4, y2=5.
Уравнение y=a(x−6)+2 — семейство прямых с угловым коэффициентом a, проходящих через точку M(6;2).
При a⩾0 прямая всегда пересекает указанную область, значит система имеет решения.
При a<0 найдём граничный случай — касание прямой и параболы. Условия касания при x⩽4:
{a=−2x+4a(x−6)+2=−x2+4x+5⇔{a=−2x+4x2−12x+27=0.Корни: x=3 (тогда a=−2, x⩽4 — подходит) и x=9 (не подходит, 9>4).
Альтернативный путь — через дискриминант: подставляя прямую в параболу, получаем x2+(a−4)x−6a−3=0, дискриминант
D=(a−4)2+4(6a+3)=a2+16a+28=(a+2)(a+14)=0.Корни a=−2 (тогда абсцисса касания x0=3⩽4 — подходит) или a=−14 (тогда x0=9>4 — не подходит).
При −2⩽a<0 прямая ещё пересекает область решений, при a<−2 — уже нет. Условию задачи удовлетворяют a⩾−2.
Ответ: a∈[−2;+∞).