Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, стоимость которых в конце года t ( t = 1, 2, ) равна t^2 млн рублей. В конце любого года фонд может продать бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 25% . В конце какого года t наиболее выгодно продать бумаги, чтобы итоговая сумма на счёте спустя много лет была максимальной?

Пусть ценные бумаги проданы в конце года t ( t in N ). Вырученная сумма составит t^2 млн рублей. Если эта сумма кладётся на счёт в банке под 25% годовых, то спустя N лет ( N > t ) итоговая сумма на счёте будет равна: S(t) = t^2 * (1,25)^(N-t). Чтобы определить, в каком году выгоднее всего продать бумаги, найдём, при каких значениях t итоговая сумма растёт, то есть S(t+1) > S(t) : (t+1)^2 * 1,25^(N-t-1) > t^2 * 1,25^(N-t). Разделим обе части неравенства на положительное выражение 1,25^(N-t-1) : (t+1)^2 > t^2 * 1,25; t^2 + 2t + 1 > 1,25t^2; 0,25t^2 - 2t - 1 < 0. Умножим на 4: t^2 - 8t - 4 < 0. Найдём корни уравнения t^2 - 8t - 4 = 0 : D = (-8)^2 - 4 * 1 * (-4) = 64 + 16 = 80. t_(1, 2) = (8 +- sqrt(80))/(2) = 4 +- 2sqrt(5). Так как 2sqrt(5) = sqrt(20) , а 4 < sqrt(20) < 5 , приближённые значения корней: t_1 = 4 - sqrt(20) < 0 ; t_2 = 4 + sqrt(20) ~ 8,47 . Графиком функции y = t^2 - 8t - 4 является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство t^2 - 8t - 4 < 0 выполняется при t in (4 - 2sqrt(5);4 + 2sqrt(5)) . Поскольку нас интересуют только натуральные значения t , условие S(t+1) > S(t) выполняется при t 8 . Это означает, что: S(1) < S(2) < < S(8) < S(9). При t 9 знак разности меняется на противоположный ( S(t+1) < S(t) ): S(9) > S(10) > S(11) > . Таким образом, наибольшая итоговая сумма на счёте достигается при продаже ценных бумаг в конце 9-го года. Ответ: 9.

9