Найдите все значения a , при которых неравенство x^2 - 6x + a 0 выполняется для всех x in [1; 4] .

Перепишем исходное неравенство в виде: a -x^2 + 6x. Чтобы это неравенство выполнялось для всех x in [1; 4] , параметр a должен быть не больше наименьшего значения функции f(x) = -x^2 + 6x на данном отрезке. График функции f(x) = -x^2 + 6x — парабола, ветви которой направлены вниз. Абсцисса вершины параболы: x_0 = -(6)/(-2) = 3. Вершина x_0 = 3 принадлежит отрезку [1; 4] . Наименьшее значение на отрезке квадратичная функция принимает на конце, наиболее удалённом от вершины. Так как точка x = 1 находится дальше от вершины (расстояние 2), чем точка x = 4 (расстояние 1), минимум достигается при x = 1 : f(1) = -1^2 + 6 * 1 = 5. Следовательно, условие выполняется при a 5 . Ответ: a 5 .

\( (-\infty; 5] \)