На доске написаны числа от 1 до 12. За один ход разрешается стереть любые два числа a и b и записать вместо них число a + b - 1 . Какое число останется на доске после 11 таких ходов?

Заметим, что каждый ход изменяет общую сумму чисел на доске на (a + b - 1) - (a + b) = -1 . То есть сумма строго уменьшается на 1 за ход. Исходная сумма: S_0 = 1 + 2 + + 12 = (12 * 13)/(2) = 78. За 11 ходов (после которых останется ровно одно число) сумма уменьшится на 11. Итоговое число равно 78 - 11 = 67 . Ответ: 67

67