На доске написано 6 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое трёх наименьших из них равно 5 , а среднее арифметическое трёх наибольших равно 15 . Какое наибольшее значение может принимать самое большое число на доске?

Пусть написанные на доске числа упорядочены по возрастанию: x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6. По условию среднее арифметическое трёх наименьших чисел равно 5 , то есть: (x_1 + x_2 + x_3)/(3) = 5 => x_1 + x_2 + x_3 = 15. Среднее арифметическое трёх наибольших чисел равно 15 : (x_4 + x_5 + x_6)/(3) = 15 => x_4 + x_5 + x_6 = 45. Нам нужно найти наибольшее возможное значение x_6 . Выразим его из второго равенства: x_6 = 45 - (x_4 + x_5). Чтобы значение x_6 было наибольшим, сумма x_4 + x_5 должна быть наименьшей. Так как все числа натуральные и различные, то x_4 > x_3 и x_5 > x_4 , следовательно, минимально возможные значения — это x_4 = x_3 + 1 и x_5 = x_3 + 2 . Таким образом, для минимизации суммы x_4 + x_5 необходимо, чтобы x_3 было как можно меньше. Из первого равенства x_1 + x_2 + x_3 = 15 и неравенств x_1 1 , x_2 2 (поскольку числа натуральные и различные), получаем оценку для x_3 : x_1 x_3 - 2, x_2 x_3 - 1, x_1 + x_2 + x_3 (x_3 - 2) + (x_3 - 1) + x_3 = 3x_3 - 3. Тогда: 15 3x_3 - 3 => 3x_3 18 => x_3 6. Значит, наименьшее возможное значение x_3 = 6 . В этом случае x_1 + x_2 = 15 - 6 = 9 . Учитывая x_1 < x_2 < 6 , единственная подходящая пара натуральных чисел — это x_1 = 4 и x_2 = 5 . Тогда наименьшие возможные значения для следующих чисел: x_4 = 6 + 1 = 7, x_5 = 6 + 2 = 8. Найдём наибольшее значение x_6 : x_6 = 45 - (7 + 8) = 30. Получаем набор чисел: 4, 5, 6, 7, 8, 30 . Проверим его: 1. Среднее трёх наименьших: (4 + 5 + 6)/(3) = (15)/(3) = 5 — верно. 2. Среднее трёх наибольших: (7 + 8 + 30)/(3) = (45)/(3) = 15 — верно. 3. Все числа натуральные и различные. Ответ: 30.

30