В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 найдите косинус угла между плоскостью AB_1C и плоскостью основания ABCD .

Пусть ребро куба равно a . Диагонали основания ABCD пересекаются в точке O . Отрезок BO является проекцией наклонной B_1O на плоскость основания. Так как диагонали квадрата перпендикулярны, BO AC . По теореме о трёх перпендикулярах, наклонная B_1O AC . Следовательно, B_1OB — линейный угол двугранного угла между плоскостью AB_1C и плоскостью основания ABCD . В прямоугольном треугольнике B_1BO : Катет BB_1 = a . Катет BO — половина диагонали квадрата ABCD со стороной a , то есть BO = (asqrt(2))/(2) . По теореме Пифагора найдём гипотенузу B_1O : B_1O = sqrt(BB_1^2 + BO^2) = sqrt(a^2 + ((a2)/(2))^2) = sqrt(a^2 + (a^2)/(2)) = asqrt((3)/(2)). Косинус искомого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: cos B_1OB = (BO)/(B_1O) = (asqrt(2)/2)/(asqrt(3/2)) = (sqrt(2))/(2) * (sqrt(2))/(sqrt(3)) = (2)/(2sqrt(3)) = (sqrt(3))/(3). Ответ: (sqrt(3))/(3) .

\( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)