В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 все рёбра равны 2 . Найдите квадрат расстояния от точки A до прямой BC_1 .

Построим ABC_1 . В нём сторона AB = 2 , а AC_1 и BC_1 — диагонали квадратных граней со стороной 2 . Значит, AC_1 = BC_1 = sqrt(2^2 + 2^2) = 2sqrt(2). Искомое расстояние h от точки A до прямой BC_1 — это высота ABC_1 , проведённая к стороне BC_1 . Найдём площадь ABC_1 . Проведём медиану (она же высота) к основанию AB . Её длина равна sqrt((22)^2 - 1^2) = sqrt(7). Площадь S треугольника ABC_1 через основание AB : S = (1)/(2) * 2 * sqrt(7) = sqrt(7). С другой стороны, через основание BC_1 и искомую высоту h : S = (1)/(2) BC_1 * h = (1)/(2) * 2sqrt(2) * h = sqrt(2)h. Приравниваем полученные выражения для площади: sqrt(2)h = sqrt(7) => h = (sqrt(7))/(sqrt(2)). Тогда квадрат расстояния равен h^2 = ( (sqrt(7))/(sqrt(2)) )^2 = (7)/(2) = 3,5. Ответ: 3,5 .

3,5