На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что сумма любых трёх из них больше 25 . Какое наименьшее значение может принимать сумма всех 10 чисел?

Пусть написанные на доске числа — это x_1, x_2, , x_(10) . Расположим их по возрастанию: x_1 < x_2 < x_3 < < x_(10). Поскольку все числа натуральные, а сумма любых трёх из них строго больше 25 , сумма трёх наименьших чисел должна быть не меньше 26 : x_1 + x_2 + x_3 26. Нам нужно найти наименьшее возможное значение общей суммы S = x_1 + x_2 + + x_(10) . Так как все числа натуральные и попарно различны, для каждого k > 3 выполняется неравенство x_k x_3 + k - 3 . Оценим сумму последних семи чисел: x_4 + x_5 + + x_(10) (x_3 + 1) + (x_3 + 2) + + (x_3 + 7) = 7x_3 + (1+7)/(2) * 7 = 7x_3 + 28. Тогда общая сумма S : S = (x_1 + x_2 + x_3) + (x_4 + x_5 + + x_(10)) 26 + 7x_3 + 28 = 7x_3 + 54. Чтобы найти минимально возможное значение суммы, необходимо найти минимальное значение x_3 . Воспользуемся тем, что x_1 < x_2 < x_3 . Из этого следует, что x_2 x_3 - 1 и x_1 x_3 - 2 . Тогда: x_1 + x_2 + x_3 (x_3 - 2) + (x_3 - 1) + x_3 = 3x_3 - 3. Из условия x_1 + x_2 + x_3 26 получаем: 3x_3 - 3 26 => 3x_3 29 => x_3 10. Для минимизации общей суммы проверим наименьшее возможное значение x_3 = 10 . Подставим его в условие для первых трёх чисел: x_1 + x_2 + 10 26 => x_1 + x_2 16. Так как x_1 < x_2 < 10 , максимальное значение x_2 равно 9 . Если x_2 = 9 , то x_1 16 - 9 = 7 . Для минимизации суммы берём x_1 = 7 . Итак, наименьшие возможные значения первых трёх чисел: 7 , 9 , 10 . Остальные семь чисел также должны быть как можно меньше, поэтому они будут идти подряд, начиная с 11 : 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 . Проверим полученный набор: 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 . Сумма трёх наименьших равна 7 + 9 + 10 = 26 > 25 , что удовлетворяет условию задачи. Вычислим сумму всех 10 чисел: S = 7 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 = 16 + (10 + 17)/(2) * 8 = 16 + 27 * 4 = 16 + 108 = 124. Ответ: 124.

124