а) Решите уравнение 2sin^2(x + (3pi)/(2)) + sqrt(3)sin 2x = 0 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [pi; (5pi)/(2)] .

а) Преобразуем исходное уравнение: 2sin^2(x + (3pi)/(2)) + sqrt(3)sin 2x = 0. По формуле приведения sin(x + (3pi)/(2)) = -cos x , следовательно, sin^2(x + (3pi)/(2)) = cos^2 x . По формуле синуса двойного угла sin 2x = 2sin x cos x . Уравнение принимает вид: 2cos^2 x + 2sqrt(3)sin x cos x = 0. Вынесем общий множитель 2cos x за скобки: 2cos x(cos x + sqrt(3)sin x) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1. cos x = 0 => x = (pi)/(2) + pi k, k in Z . 2. cos x + sqrt(3)sin x = 0 . Так как значения x , при которых cos x = 0 , не являются решениями данного уравнения, разделим обе части на cos x : 1 + sqrt(3)tg x = 0. tg x = -(1)/(sqrt(3)) => x = -(pi)/(6) + pi n, n in Z. б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [pi; (5pi)/(2)] , решив двойные неравенства. Для первой серии x = (pi)/(2) + pi k : pi (pi)/(2) + pi k (5pi)/(2). Разделим все части неравенства на pi : 1 (1)/(2) + k (5)/(2). (1)/(2) k 2. Так как k in Z , возможные значения k = 1 и k = 2 . При k = 1 : x = (pi)/(2) + pi = (3pi)/(2) . При k = 2 : x = (pi)/(2) + 2pi = (5pi)/(2) . Для второй серии x = -(pi)/(6) + pi n : pi -(pi)/(6) + pi n (5pi)/(2). Разделим все части неравенства на pi : 1 -(1)/(6) + n (5)/(2). (7)/(6) n (16)/(6). Так как n in Z , единственное подходящее значение n = 2 . При n = 2 : x = -(pi)/(6) + 2pi = (11pi)/(6) . Заданному отрезку принадлежат корни (3pi)/(2) , (11pi)/(6) и (5pi)/(2) . Ответ: а) (pi)/(2) + pi k, k in Z ; -(pi)/(6) + pi n, n in Z б) (3pi)/(2) ; (11pi)/(6) ; (5pi)/(2)

а) \( \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; -\dfrac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) б) \( \dfrac{3\pi}{2}; \dfrac{11\pi}{6}; \dfrac{5\pi}{2} \)