Две окружности с радиусами R = 12 и r = 5 касаются внешним образом. Найдите длину их общей внешней касательной (расстояние между точками касания).

Пусть O_1 и O_2 — центры окружностей с радиусами R = 12 и r = 5 соответственно, а A и B — точки касания общей внешней касательной с первой и второй окружностями. Поскольку окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: O_1O_2 = R + r = 12 + 5 = 17. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной, следовательно, O_1A AB и O_2B AB . Таким образом, прямые O_1A и O_2B параллельны, а четырёхугольник O_1ABO_2 является прямоугольной трапецией. Проведём из центра меньшей окружности O_2 перпендикуляр O_2H к радиусу большей окружности O_1A . Четырёхугольник ABO_2H — прямоугольник, так как все его углы прямые. Следовательно, O_2H = AB и AH = O_2B = r = 5 . Найдём длину отрезка O_1H : O_1H = O_1A - AH = R - r = 12 - 5 = 7. Рассмотрим прямоугольный треугольник O_1HO_2 . По теореме Пифагора: O_1O_2^2 = O_1H^2 + O_2H^2; 17^2 = 7^2 + O_2H^2; 289 = 49 + O_2H^2; O_2H^2 = 240 => O_2H = sqrt(240) = 4sqrt(15). Так как AB = O_2H , расстояние между точками касания равно 4sqrt(15) . Ответ: 4sqrt(15) .

\( 4\sqrt{15} \)