Найдите все значения a , при которых уравнение sqrt(4 - x^2) = x + a имеет ровно один корень.

Рассмотрим графическое решение задачи. Пусть y = sqrt(4 - x^2) и y = x + a . Графиком функции y = sqrt(4 - x^2) является верхняя полуокружность с центром в начале координат (0; 0) и радиусом R = 2 , так как y 0 и x^2 + y^2 = 4 . Её концы — точки (-2; 0) и (2; 0) . Графиком функции y = x + a является семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом k = 1 . Найдём значения параметра a , при которых прямая проходит через концы полуокружности. 1. Прямая проходит через точку (-2; 0) : 0 = -2 + a => a = 2. 2. Прямая проходит через точку (2; 0) : 0 = 2 + a => a = -2. Найдём значение a , при котором прямая касается полуокружности. Касательная отстоит от центра окружности на расстояние, равное радиусу. Запишем уравнение прямой в общем виде: x - y + a = 0 . Расстояние от точки (0; 0) до этой прямой равно 2 : (|0 - 0 + a|)/(sqrt(1^2 + (-1)^2)) = 2 => (|a|)/(sqrt(2)) = 2 => |a| = 2sqrt(2). Так как касание происходит с верхней полуокружностью, где значения y положительны, параметр a должен быть больше нуля, следовательно, a = 2sqrt(2) . Проанализируем количество точек пересечения графиков (корней уравнения) в зависимости от a : 1. При a < -2 прямая проходит ниже полуокружности на отрезке [-2; 2] , общих точек нет. 2. При a in [-2; 2) прямая пересекает полуокружность ровно в одной точке. 3. При a = 2 прямая проходит через точку (-2; 0) и пересекает полуокружность во второй точке (0; 2) , то есть уравнение имеет два корня. 4. При a in (2; 2sqrt(2)) прямая пересекает полуокружность в двух различных точках. 5. При a = 2sqrt(2) прямая касается полуокружности, ровно одна общая точка (один корень). 6. При a > 2sqrt(2) прямая проходит выше полуокружности, общих точек нет. Таким образом, уравнение имеет ровно один корень при a in [-2; 2) U 2sqrt(2) . Ответ: a in [-2; 2) U 2sqrt(2) .

\( [-2; 2) \cup \{2\sqrt{2}\} \)