Найдите корни уравнения 25^(cos x) - 6 * 5^(cos x) + 5 = 0 , принадлежащие отрезку [pi; 3pi] .

Пусть t = 5^(cos x) . Тогда исходное уравнение принимает вид: t^2 - 6t + 5 = 0. По теореме Виета находим корни: t_1 = 1 , t_2 = 5 . Выполним обратную замену: 1. 5^(cos x) = 1 => 5^(cos x) = 5^0 => cos x = 0 => x = (pi)/(2) + pi k, k in Z . 2. 5^(cos x) = 5 => 5^(cos x) = 5^1 => cos x = 1 => x = 2pi n, n in Z . Отберём корни, принадлежащие отрезку [pi; 3pi] , с помощью двойных неравенств. Для серии x = (pi)/(2) + pi k : pi (pi)/(2) + pi k 3pi. Разделим все части на pi : 1 (1)/(2) + k 3 => 0,5 k 2,5. Так как k in Z , то подходят значения k = 1 и k = 2 . При k = 1 получаем x = (pi)/(2) + pi = 3 racpi2 (в исходном тексте была ошибка, корень (3pi)/(2) ). При k = 2 получаем x = (pi)/(2) + 2pi = (5pi)/(2) . Для серии x = 2pi n : pi 2pi n 3pi. Разделим все части на pi : 1 2n 3 => 0,5 n 1,5. Так как n in Z , то подходит значение n = 1 . При n = 1 получаем x = 2pi . Таким образом, заданному отрезку принадлежат корни: (3pi)/(2); 2pi; (5pi)/(2) . Ответ: (3pi)/(2); 2pi; (5pi)/(2) .

\( \dfrac{3\pi}{2}; \, 2\pi; \, \dfrac{5\pi}{2} \)