Задача №16039

Восемь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.

а) Может ли сумма всех восьми чисел быть равна 65?

б) Может ли сумма всех восьми чисел быть равна 62?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех восьми чисел?

а) Да. Например: $1,2,3,5,7,11,13,23\text{.}$ Сумма: $1+2+3+5+7+11+13+23=65\text{.}$ Все попарно взаимно просты.

б) Нет. Среди таких чисел может быть не более одного чётного (иначе два чётных имеют общий делитель 2). Остальные 7 нечётных. Но тогда сумма: 1 чётное + 7 нечётных = чётное + нечётное = нечётное. Однако 62 чётное. Значит, четного числа нет. Тогда все 8 нечётных. Сумма 8 наименьших нечётных: $1+3+5+7+9+11+13+15=64>62\text{.}$ Противоречие.

в) Среди 8 попарно взаимно простых чисел не более одного чётного (обязательно 2), не более одного кратного 3 (обязательно 3). Минимальный набор: $1,2,3,5,7,11,13,17\text{.}$ Сумма: $1+2+3+5+7+11+13+17=59\text{.}$