В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N -- середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK : KC = 1 : 3. а) Докажите, что AN = 2KM. б) Пусть P -- точка пересечения отрезков AN и KM. Найдите длину отрезка прямой BP, заключённого внутри треугольника KMN, если AB = 10, BC = 16.
а) Так как N — середина катета BC , то BN = NC = (1)/(2) BC . По условию BK : KC = 1 : 3 , значит, BK = (1)/(4) BC . Поскольку K лежит на BC , то точка K находится между B и N , и KN = BN - BK = (1)/(4) BC . Следовательно, BN = 2KN . Поскольку M и N — середины сторон AC и BC соответственно, отрезок MN является средней линией ABC . Отсюда MN AB и MN = (1)/(2) AB , то есть AB = 2MN . Так как B = 90^ и MN AB , то MN BC и MNK = 90^ . Рассмотрим прямоугольные треугольники ABN и MNK . У них ABN = MNK = 90^ , а катеты пропорциональны: (AB)/(MN) = 2, (BN)/(KN) = 2 Следовательно, ABN MNK по двум катетам, с коэффициентом подобия 2. Отношение их гипотенуз также равно 2, то есть (AN)/(KM) = 2 , откуда AN = 2KM . Ч.т.д. б) По условию AB = 10 , BC = 16 . Тогда MN = 5 , BN = 8 , BK = 4 , KN = 4 . Из доказанного в пункте (а) подобия следует равенство соответствующих углов: BNA = MKN . Обозначим этот угол alpha . В PKN углы при основании KN равны: PNK = BNA = alpha и PKN = MKN = alpha . Следовательно, PKN — равнобедренный ( PN = PK ). Проведём в нём высоту PH к основанию KN . В равнобедренном треугольнике высота является медианой, поэтому H — середина KN , KH = HN = 2 . Так как PH BC и AB BC , то PH AB . Из прямоугольного PHN находим PH = HN * tg alpha . Значение тангенса найдём из прямоугольного ABN : tg alpha = (AB)/(BN) = (10)/(8) = (5)/(4) Тогда PH = 2 * (5)/(4) = 2,5 . Прямая BP пересекает сторону KM в точке P . Пусть она пересекает сторону MN в точке R . Отрезок PR — это отрезок прямой BP , заключённый внутри KMN . Рассмотрим прямоугольный BNR . Отрезок PH параллелен катету NR (оба перпендикулярны BC ). Из подобия BHP BNR следует: (NR)/(PH) = (BN)/(BH) Так как BH = BK + KH = 4 + 2 = 6 , получаем: (NR)/(2,5) = (8)/(6) = (4)/(3) => NR = (10)/(3) Поскольку NR = (10)/(3) < 5 (длина MN ), точка R действительно лежит на отрезке MN . Проведём из P перпендикуляр PQ к отрезку MN . Четырёхугольник PHNQ является прямоугольником, поэтому PQ = HN = 2 и NQ = PH = 2,5 = (5)/(2) . В прямоугольном PQR найдём катет QR : QR = NR - NQ = (10)/(3) - (5)/(2) = (20 - 15)/(6) = (5)/(6) По теореме Пифагора найдём гипотенузу PR : PR = sqrt(PQ^2 + QR^2) = sqrt(2^2 + ((5)/(6))^2) = sqrt(4 + (25)/(36)) = sqrt((169)/(36)) = (13)/(6)
б) \( \dfrac{13}{6} \)