В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 точка K -- середина ребра A_1B_1. Плоскость alpha проходит через точки A, K и C. а) Докажите, что сечением призмы плоскостью alpha является равнобедренная трапеция. б) Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения, если все ребра призмы равны 6.
а) Точки A и K лежат в грани ABB_1A_1 , точки A и C — в грани ABC . Плоскость alpha пересекает нижнюю грань по прямой AC . Так как основания призмы параллельны, плоскость alpha пересекает верхнюю грань A_1B_1C_1 по прямой, параллельной AC . Пусть эта прямая проходит через точку K и пересекает ребро B_1C_1 в точке P . Тогда KP AC . Поскольку A_1B_1C_1 — правильный треугольник, а K — середина A_1B_1 , отрезок KP параллелен A_1C_1 , следовательно, KP является средней линией A_1B_1C_1 , и P — середина B_1C_1 . Длина KP = (1)/(2)A_1C_1 = 3 . Длина AC = 6 . Так как KP AC и KP != AC , четырёхугольник AKPC является трапецией. Найдём её боковые стороны. Треугольники AA_1K и CC_1P — прямоугольные. По теореме Пифагора: AK = sqrt(AA_1^2 + A_1K^2) = sqrt(6^2 + 3^2) = sqrt(45) = 3sqrt(5) CP = sqrt(CC_1^2 + C_1P^2) = sqrt(6^2 + 3^2) = sqrt(45) = 3sqrt(5) Поскольку AK = CP , трапеция AKPC — равнобедренная. б) Продолжим боковые стороны трапеции AK и CP до пересечения. Они пересекутся в некоторой точке S . Прямая CP лежит в плоскости BCC_1 , прямая AK — в плоскости ABB_1 . Обе эти прямые пересекают прямую BB_1 . Так как BB_1 — линия пересечения этих плоскостей, точка S лежит на продолжении ребра BB_1 . Рассмотрим SBC . Так как B_1P BC , SB_1P SBC . Поскольку P — середина B_1C_1 , коэффициент подобия равен (1)/(2) . Тогда B_1 — середина SB , откуда SB_1 = BB_1 = 6 , следовательно, SB = 12 . Плоскость сечения совпадает с плоскостью SAC . Искомое расстояние — это расстояние от точки B до плоскости SAC . Так как призма правильная, ребро SB перпендикулярно плоскости основания ABC . Проведём в ABC высоту BE к стороне AC . Поскольку ABC — равносторонний со стороной 6, BE = (6sqrt(3))/(2) = 3sqrt(3) . Так как SB (ABC) , отрезок SE является наклонной, а BE — её проекцией на плоскость ABC . Поскольку BE AC , по теореме о трёх перпендикулярах SE AC . Плоскость SBE перпендикулярна прямой AC , так как AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым BE и SE в этой плоскости. Следовательно, плоскость SBE перпендикулярна плоскости SAC . Проведём высоту BH в прямоугольном SBE . Так как BH SE и BH лежит в плоскости SBE , перпендикулярной плоскости SAC , отрезок BH является перпендикуляром к плоскости SAC , то есть искомым расстоянием. В SBE по теореме Пифагора: SE = sqrt(SB^2 + BE^2) = sqrt(12^2 + (33)^2) = sqrt(144 + 27) = sqrt(171) = 3sqrt(19) Высоту BH найдём через площадь SBE : BH = (SB * BE)/(SE) = (12 * 3sqrt(3))/(3sqrt(19)) = (12sqrt(3))/(sqrt(19)) = (12sqrt(57))/(19)
б) \( \dfrac{12\sqrt{57}}{19} \)