Задача №16034

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых система

$\{\begin{array}{l}|x-a|+|y|=2\\ y=\sqrt{4-x^2}\end{array}$

имеет ровно одно решение.

Второе уравнение задаёт верхнюю полуокружность $x^2+y^2=4\text{,}$ $y⩾0\text{.}$ Первое уравнение задаёт ромб с центром $(a;0)$ и вершинами $(a\pm 2;0)\text{,}$ $(a;\pm 2)\text{.}$ Нас интересует пересечение ромба с полуокружностью.

Граничные случаи: 1) Правая вершина ромба в точке $(-2;0)\text{:}$ $a+2=-2\text{,}$ $a=-4$ — одна точка пересечения. 2) Сторона ромба касается полуокружности: подставляя $y=x+2-a$ в $x^2+y^2=4\text{,}$ получаем $D=0$ при $a=2-2\sqrt{2}\text{.}$ 3) Аналогично для другой стороны: $a=-2+2\sqrt{2}\text{.}$ 4) Левая вершина в точке $(2;0)\text{:}$ $a-2=2\text{,}$ $a=4$ — одна точка.

Ответ: $a\in [-4;2-2\sqrt{2})\cup (-2+2\sqrt{2};4]\text{.}$