Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система cases 2^(|x|+3) + 7|x| + 1 = 8y + 7x^2 + a x^2 + y^2 = 1 cases имеет ровно одно решение.

Заметим, что 2^(|x|+3) = 8 * 2^(|x|). Перепишем первое уравнение: 8 * 2^(|x|) + 7|x| + 1 = 8y + 7x^2 + a. Оба уравнения системы симметричны относительно замены x на -x: выражения 2^(|x|), |x|, x^2, y, x^2 + y^2 не меняются. Поэтому если (x_0,y_0) -- решение, то (-x_0,y_0) тоже решение. Единственное решение возможно лишь при x = 0. Подставим x = 0: 8 * 1 + 0 + 1 = 8y + 0 + a, то есть 9 = 8y + a. Из x^2 + y^2 = 1 при x = 0: y = +- 1. При y = 1: 9 = 8 + a, a = 1. При y = -1: 9 = -8 + a, a = 17. Проверка a = 17: подставим x = 1: 8 * 2 + 7 + 1 = 8y + 7 + 17, 24 = 8y + 24, y = 0. Точка (1,0) на окружности -- лишнее решение. Проверка a = 1: при x in (0;1] из первого уравнения y = 2^x + (7)/(8)x - (7)/(8)x^2. При x > 0: 2^x > 1 и (7)/(8)x(1-x) 0, значит y > 1. На окружности y 1, пересечений нет. Ответ: a = 1.

\(a = 1\)