Задача №16033

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых система

$\{\begin{array}{l}{2}^{|x|+3}+7|x|+1=8y+7x^2+a\\ x^2+y^2=1\end{array}$

имеет ровно одно решение.

Заметим, что $2^{|x|+3}=8\cdot 2^{|x|}\text{.}$ Перепишем первое уравнение:

$8\cdot 2^{|x|}+7|x|+1=8y+7x^2+a\text{.}$

Оба уравнения системы симметричны относительно замены $x$ на $-x\text{:}$ выражения $2^{|x|}\text{,}$ $|x|\text{,}$ $x^2\text{,}$ $y\text{,}$ $x^2+y^2$ не меняются. Поэтому если $(x_0,y_0)$ — решение, то $(-x_0,y_0)$ тоже решение. Единственное решение возможно лишь при $x=0\text{.}$

Подставим $x=0\text{:}$ $8\cdot 1+0+1=8y+0+a\text{,}$ то есть $9=8y+a\text{.}$

Из $x^2+y^2=1$ при $x=0\text{:}$ $y=\pm 1\text{.}$

При $y=1\text{:}$ $9=8+a\text{,}$ $a=1\text{.}$

При $y=-1\text{:}$ $9=-8+a\text{,}$ $a=17\text{.}$

Проверка $a=17\text{:}$ подставим $x=1\text{:}$ $8\cdot 2+7+1=8y+7+17\text{,}$ $24=8y+24\text{,}$ $y=0\text{.}$ Точка $(1,0)$ на окружности — лишнее решение.

Проверка $a=1\text{:}$ при $x\in (0;1]$ из первого уравнения $y=2^x+\frac{7}{8}x-\frac{7}{8}{x}^2\text{.}$ При $x>0\text{:}$ $2^x>1$ и $\frac{7}{8}x(1-x)⩾0\text{,}$ значит $y>1\text{.}$ На окружности $y⩽1\text{,}$ пересечений нет.

Ответ: $a=1\text{.}$