Задача №16032

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых система

$\{\begin{array}{l}5\cdot 2^{|x|}+6|x|+7=5y+6x^2-a\\ x^2+y^2=1\end{array}$

имеет единственное решение.

Второе уравнение — окружность радиуса 1 с центром в начале координат, $x\in [-1;1]\text{.}$ Оба уравнения симметричны относительно оси ординат (при замене $x$ на $-x$ не меняются). Поэтому единственное решение возможно только при $x=0\text{.}$ Подставим $x=0\text{:}$ $5+7=5y-a\text{,}$ $y^2=1\text{.}$ При $y=1\text{:}$ $12=5-a\text{,}$ $a=-7\text{.}$ При $y=-1\text{:}$ $12=-5-a\text{,}$ $a=-17\text{.}$

Проверка $a=-17\text{:}$ при $x=1$ первое уравнение даёт $y=0\text{,}$ точка $(1;0)$ на окружности. Тогда и $(-1;0)$ — решение. Не единственное.

Проверка $a=-7\text{:}$ при $x\in (0;1]$ выражаем $y=2^x+\frac{6}{5}x-\frac{6}{5}{x}^2>1$ (так как $2^x>1$ и $\frac{6}{5}x⩾\frac{6}{5}{x}^2$). Значит, график первого уравнения выше окружности, пересечений нет.

Ответ: $a=-7\text{.}$