Задача №16025

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точка $K$ — середина ребра $B_1{C}_1\text{.}$ Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B\text{,}$ $K$ и $D\text{.}$

а) Докажите, что сечение куба плоскостью $\alpha$ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $\alpha \text{,}$ если ребро куба равно 3.

а) Построим сечение куба плоскостью $\alpha \text{.}$ Точки $B$ и $K$ лежат в грани $B{B}_1{C}_{1}C\text{,}$ точки $B$ и $D$ — в грани $ABCD\text{.}$ Так как верхняя и нижняя грани лежат в параллельных плоскостях, $\alpha$ пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной $BD\text{.}$ Пусть $\alpha$ пересекает ребро $C_1{D}_1$ в точке $L\text{.}$ Тогда $KL\parallel BD\text{.}$ Так как $B_1{D}_1\parallel BD\text{,}$ то $KL\parallel B_1{D}_1\text{,}$ и по теореме Фалеса $L$ — середина ребра $C_1{D}_1\text{.}$

Опустим из $K$ и $L$ перпендикуляры на нижнюю грань куба с основаниями $H_1$ и $H_2\text{.}$ Пусть ребро куба $2x\text{.}$ Тогда $B{H}_1=H_{1}C=C{H}_2=H_{2}D=x\text{.}$ По теореме Пифагора: $B{K}^2=K{H}_1^2+B{H}_1^2=4x^2+x^2=5x^2$ и $D{L}^2=L{H}_2^2+D{H}_2^2=5x^2\text{.}$ Таким образом, $BK=DL\text{.}$ При этом $KL=\frac{B_1{D}_1}{2}=\frac{BD}{2}\ne BD\text{.}$ Значит $BKLD$ — равнобедренная трапеция.

б) Ребро куба равно 3. Продлим $DL$ и $BK$ до пересечения с продолжением ребра $C{C}_1$ в точке $S\text{.}$ По подобию $△DSC\sim △LS{C}_1$ (так как $L{C}_1\parallel DC$) получаем $\frac{S{C}_1}{SC}=\frac{1}{2}\text{,}$ значит $S{C}_1=C{C}_1=3\text{,}$ $SC=6\text{.}$

Диагональ верхней грани $A_1{C}_1=3\sqrt{2}\text{.}$ Так как $KL$ — средняя линия $△B_1{C}_1{D}_1\text{,}$ она пересекает $A_1{C}_1$ в точке $E\text{,}$ причём $E{C}_1=\frac{A_1{C}_1}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{4}\text{.}$ Прямая $C_{1}E$ перпендикулярна $KL\text{,}$ и $S{C}_1\perp$ верхней грани, поэтому $(SE{C}_1)\perp KL\text{.}$

В $△S{C}_{1}E$ опустим высоту $C_{1}H\text{.}$ Тогда $C_{1}H\perp KL$ и $C_{1}H\perp SE\text{,}$ значит $C_{1}H\perp \alpha \text{.}$

По теореме Пифагора: $S{E}^2=S{C}_1^2+E{C}_1^2=9+\frac{9\cdot 2}{16}=9+\frac{9}{8}=\frac{81}{8}\text{,}$ $SE=\frac{9}{2\sqrt{2}}\text{.}$

Расстояние: $C_{1}H=\frac{C_{1}S\cdot C_{1}E}{SE}=\frac{3\cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}}{\frac{9}{2\sqrt{2}}}=\frac{\frac{9\sqrt{2}}{4}}{\frac{9}{2\sqrt{2}}}=\frac{9\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{9}=1\text{.}$