В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точка K -- середина ребра B_1C_1. Плоскость alpha проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью alpha является равнобедренной трапецией. б) Найдите расстояние от точки C_1 до плоскости alpha, если ребро куба равно 3.
а) Построим сечение куба плоскостью alpha. Точки B и K лежат в грани BB_1C_1C, точки B и D -- в грани ABCD. Так как верхняя и нижняя грани лежат в параллельных плоскостях, alpha пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной BD. Пусть alpha пересекает ребро C_1D_1 в точке L. Тогда KL BD. Так как B_1D_1 BD, то KL B_1D_1, и по теореме Фалеса L -- середина ребра C_1D_1. Опустим из K и L перпендикуляры на нижнюю грань куба с основаниями H_1 и H_2. Пусть ребро куба 2x. Тогда BH_1 = H_1C = CH_2 = H_2D = x. По теореме Пифагора: BK^2 = KH_1^2 + BH_1^2 = 4x^2 + x^2 = 5x^2 и DL^2 = LH_2^2 + DH_2^2 = 5x^2. Таким образом, BK = DL. При этом KL = (B_1D_1)/(2) = (BD)/(2) != BD. Значит BKLD -- равнобедренная трапеция. б) Ребро куба равно 3. Продлим DL и BK до пересечения с продолжением ребра CC_1 в точке S. По подобию DSC LSC_1 (так как LC_1 DC) получаем (SC_1)/(SC) = (1)/(2), значит SC_1 = CC_1 = 3, SC = 6. Диагональ верхней грани A_1C_1 = 3sqrt(2). Так как KL -- средняя линия B_1C_1D_1, она пересекает A_1C_1 в точке E, причём EC_1 = (A_1C_1)/(4) = (3sqrt(2))/(4). Прямая C_1E перпендикулярна KL, и SC_1 верхней грани, поэтому (SEC_1) KL. В SC_1E опустим высоту C_1H. Тогда C_1H KL и C_1H SE, значит C_1H alpha. По теореме Пифагора: SE^2 = SC_1^2 + EC_1^2 = 9 + (9 * 2)/(16) = 9 + (9)/(8) = (81)/(8), SE = (9)/(2sqrt(2)). Расстояние: C_1H = (C_1S * C_1E)/(SE) = (3 * (3sqrt(2))/(4))/((9)/(2sqrt(2))) = ((9sqrt(2))/(4))/((9)/(2sqrt(2))) = (9sqrt(2))/(4) * (2sqrt(2))/(9) = 1.
б) 1