Задача №16022

Семь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.

а) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 50?

б) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 47?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех семи чисел?

а) Да, может. Рассмотрим набор чисел: $1,2,3,5,7,13,19\text{.}$ Все эти числа попарно взаимно просты, так как среди них одно равно 1, а остальные — различные простые числа. Их сумма равна $1+2+3+5+7+13+19=50\text{.}$

б) Нет, не может. Заметим, что среди семи попарно взаимно простых чисел может быть не более одного чётного (иначе два чётных числа имели бы общий делитель 2).
Возможны два случая:
1) Одно число чётное, а остальные шесть — нечётные. Сумма шести нечётных чисел чётна, следовательно, общая сумма всех семи чисел будет чётной. Так как 47 — число нечётное, этот случай невозможен.
2) Все семь чисел нечётные. Тогда наименьшая возможная сумма достигается при выборе семи наименьших натуральных нечётных попарно взаимно простых чисел. Заметим, что число 9 делится на 3, поэтому числа 3 и 9 не могут быть одновременно в наборе (у них общий делитель 3). Наименьшие семь нечётных попарно взаимно простых чисел: $1,3,5,7,11,13,17\text{.}$ Их сумма равна $1+3+5+7+11+13+17=57\text{.}$ Так как минимальная возможная сумма больше 47, этот случай также невозможен.
Значит, сумма семи чисел не может быть равна 47.

в) Чтобы найти наименьшее значение суммы, нужно выбрать семь наименьших попарно взаимно простых чисел. Если использовать одно чётное число (наименьшее — 2), то мы можем взять следующие по величине числа, каждое из которых должно быть взаимно просто с остальными. Наилучший выбор — это 1 и последовательные наименьшие простые числа: $1,2,3,5,7,11,13\text{.}$
Сумма этого набора равна $1+2+3+5+7+11+13=42\text{.}$
Поскольку любые другие взаимно простые числа будут больше выбранных нами, сумма не может быть меньше 42.