Задача №16021

а) Призма правильная, поэтому $A_1{B}_1{C}_1$ — равносторонний треугольник. Медиана $C_{1}K$ является и высотой: $K{C}_1\perp A_1{B}_1\text{.}$ Также $K{C}_1\perp A{A}_1$ (так как призма правильная). Значит $K{C}_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $(AB{B}_1)\text{,}$ следовательно $K{C}_1\perp (AB{B}_1)\text{.}$ Так как $\alpha \perp (AB{B}_1)$ и $K\in \alpha \text{,}$ то $K{C}_1\subset \alpha \text{,}$ то есть $C_1\in \alpha \text{.}$

б) Все ребра равны 16, тогда $M{A}_1=4\text{,}$ $A_{1}K=K{B}_1=8\text{.}$ Применим метод объёмов для пирамиды $C_1{A}_{1}MK\text{.}$ Пусть $h$ — расстояние от $A_1$ до $\alpha \text{.}$ Треугольник $A_{1}MK$ прямоугольный: $S_{A_{1}MK}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8=16\text{.}$ Так как $C_{1}K\perp (AB{B}_1)\text{,}$ то $△C_{1}MK$ прямоугольный. $C_{1}K=8\sqrt{3}$ (высота из $K$ к $A_1{B}_1$), $KM=\sqrt{64+16}=4\sqrt{5}\text{.}$ $S_{C_{1}MK}=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{5}=16\sqrt{15}\text{.}$ Из равенства объёмов: $\frac{1}{3}\cdot C_{1}K\cdot S_{A_{1}MK}=\frac{1}{3}\cdot h\cdot S_{C_{1}MK}\text{,}$ откуда $h=\frac{8\sqrt{3}\cdot 16}{16\sqrt{15}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}\text{.}$