В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 отметили точки M и K на рёбрах AA_1 и A_1B_1 соответственно. Известно, что AM = 3MA_1, A_1K = KB_1. Через точки M и K провели плоскость alpha перпендикулярно грани ABB_1A_1. а) Докажите, что плоскость alpha проходит через вершину C_1. б) Найдите расстояние от точки A_1 до плоскости alpha, если все ребра призмы равны 16.
а) Призма правильная, поэтому A_1B_1C_1 -- равносторонний треугольник. Медиана C_1K является и высотой: KC_1 A_1B_1. Также KC_1 AA_1 (так как призма правильная). Значит KC_1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости (ABB_1), следовательно KC_1 (ABB_1). Так как alpha (ABB_1) и K in alpha, то KC_1 c alpha, то есть C_1 in alpha. б) Все ребра равны 16, тогда MA_1 = 4, A_1K = KB_1 = 8. Применим метод объёмов для пирамиды C_1A_1MK. Пусть h -- расстояние от A_1 до alpha. Треугольник A_1MK прямоугольный: S_(A_1MK) = (1)/(2) * 4 * 8 = 16. Так как C_1K (ABB_1), то C_1MK прямоугольный. C_1K = 8sqrt(3) (высота из K к A_1B_1), KM = sqrt(64 + 16) = 4sqrt(5). S_(C_1MK) = (1)/(2) * 8sqrt(3) * 4sqrt(5) = 16sqrt(15). Из равенства объёмов: (1)/(3) * C_1K * S_(A_1MK) = (1)/(3) * h * S_(C_1MK), откуда h = (8sqrt(3) * 16)/(16sqrt(15)) = (8sqrt(5))/(5).
б) \(\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\)