В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N -- середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L. а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны. б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos BAC = (7)/(25).
а) Пусть BAC = 2alpha. Так как AL — биссектриса, то BAL = CAL = alpha. Отрезок MN — средняя линия прямоугольного ABC, поэтому MN AC и MN BC. Поскольку MN AC, накрест лежащие углы равны: MLA = CAL = alpha. В AML углы при основании AL равны: MAL = MLA = alpha. Значит, AML — равнобедренный, AM = ML. Так как M — середина гипотенузы AB, то AM = MB = ML. Поскольку медиана ML треугольника ABL равна половине стороны AB, к которой она проведена, угол ALB = 90^. Следовательно, в прямоугольном ABL: ABL = 90^ - BAL = 90^ - alpha. В исходном прямоугольном ABC: ABC = 90^ - BAC = 90^ - 2alpha. Поскольку гипотенуза больше катета, AB > AC, откуда ML = (AB)/(2) > (AC)/(2) = MN. Значит, точка L лежит на продолжении отрезка MN за точку N, и луч BC проходит внутри угла ABL. Тогда LBC = ABL - ABC = (90^ - alpha) - (90^ - 2alpha) = alpha. Прямая MN перпендикулярна катету BC и проходит через его середину N. Значит, LN — серединный перпендикуляр к отрезку BC. Любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка, поэтому BL = LC, и BLC — равнобедренный. Следовательно, BCL = LBC = alpha. В треугольниках AML и BLC: - MAL = BCL = alpha, - MLA = LBC = alpha. Значит, треугольники AML и BLC подобны по двум углам. б) Из подобия треугольников AML и BLC следует, что отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия k, который равен отношению соответствующих боковых сторон AM и BL. Из прямоугольного ABL имеем BL = AB sin alpha. Поскольку AM = (AB)/(2), находим отношение: (AM)/(BL) = (AB)/(2 * AB sin alpha) = (1)/(2 sin alpha) По условию cos BAC = cos 2alpha = (7)/(25). Используя формулу косинуса двойного угла cos 2alpha = 1 - 2sin^2 alpha, получаем: 2sin^2 alpha = 1 - (7)/(25) = (18)/(25) => sin^2 alpha = (9)/(25) Так как alpha — острый угол, sin alpha = (3)/(5). Тогда отношение сторон: (AM)/(BL) = (1)/(2 * (3)/(5)) = (5)/(6) Отношение площадей треугольников равно: (S_(AML))/(S_(BLC)) = ( (AM)/(BL) )^2 = ( (5)/(6) )^2 = (25)/(36)
б) \(\dfrac{25}{36}\)