Задача №16015

а) Можно ли представить число 2032 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

б) Можно ли представить число 799 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

в) Найдите наименьшую числу, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.

а) Да. Например, $2024+8=2032\text{.}$ Сумма цифр каждого из слагаемых одинакова и равна $8$ ($2+0+2+4=8$ и $8=8$).

б) Нет. Пусть $A+B=799$ и $S(A)=S(B)\text{,}$ где $S(n)$ — сумма цифр числа $n\text{.}$

Известно, что $S(A)+S(B)=S(A+B)+9k\text{,}$ где $k$ — суммарное количество переносов в следующий разряд при сложении чисел $A$ и $B$ в столбик.
Поскольку $S(A)=S(B)\text{,}$ левая часть равенства является чётным числом: $S(A)+S(B)=2S(A)\text{.}$
Сумма цифр числа $799$ равна $S(799)=7+9+9=25\text{.}$

Заметим, что при сложении $A$ и $B$ переносов не возникает. Действительно, последняя цифра суммы равна $9\text{,}$ значит, сумма последних цифр чисел $A$ и $B$ равна $9$ (получить $19$ невозможно, так как максимальная сумма двух цифр равна $9+9=18$). Значит, переноса в разряд десятков нет.
В разряде десятков суммы также стоит цифра $9\text{,}$ и так как переноса из единиц нет, сумма цифр в разряде десятков также равна $9\text{.}$ Следовательно, переноса в разряд сотен тоже нет.

Поскольку переносов нет, $k=0\text{.}$ Тогда уравнение принимает вид:

$$2S(A)=25$$

Это невозможно, так как $2S(A)$ — чётное число, а $25$ — нечётное. Полученное противоречие показывает, что такое представление невозможно.

в) Пусть $M$ — искомая сумма пяти различных чисел. Чтобы $M$ была минимальной для некоторой фиксированной суммы цифр $s\text{,}$ мы должны взять пять наименьших различных натуральных чисел с этой суммой цифр.
Рассмотрим различные значения $s\text{:}$

• При $s=1$ наименьшие числа: $1,10,100,1000,10000\text{.}$ Их сумма равна $11111\text{.}$
• При $s=2$ наименьшие числа: $2,11,20,101,110\text{.}$ Их сумма равна $244\text{.}$
• При $s=3$ наименьшие числа: $3,12,21,30,102\text{.}$ Их сумма равна $168\text{.}$
• При $s=4$ наименьшие числа: $4,13,22,31,40\text{.}$ Их сумма равна $4+13+22+31+40=110\text{.}$
• При $4\le s\le 9$ наименьшие числа образуются как числа не более чем из двух цифр вида $10a+b\text{,}$ где $a+b=s\text{.}$ Таких чисел ровно $s+1\text{.}$ При $s\ge 4$ их не менее пяти, и наименьшие пять образуют арифметическую прогрессию с разностью $9\text{:}$ $s,s+9,s+18,s+27,s+36\text{.}$
  Их сумма равна $5s+90\text{.}$ Очевидно, что при увеличении $s$ эта сумма строго возрастает, поэтому её минимум на этом промежутке достигается при $s=4$ и равен $110\text{.}$
• При $s>9$ каждое число в выбираемой пятёрке будет больше, чем соответствующее число для $s=9$ (например, для $s=10$ наименьшие числа начинаются с $19,28,37\dots$). Поэтому итоговая сумма будет заведомо больше $110\text{.}$

Таким образом, наименьшее число, которое можно представить в требуемом виде, равно $110\text{.}$