а) Можно ли представить число 2032 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 799 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? в) Найдите наименьшую числу, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.
а) Да. Например, 2024 + 8 = 2032 . Сумма цифр каждого из слагаемых одинакова и равна 8 ( 2+0+2+4=8 и 8=8 ). б) Нет. Пусть A + B = 799 и S(A) = S(B) , где S(n) — сумма цифр числа n . Известно, что S(A) + S(B) = S(A+B) + 9k , где k — суммарное количество переносов в следующий разряд при сложении чисел A и B в столбик. Поскольку S(A) = S(B) , левая часть равенства является чётным числом: S(A) + S(B) = 2S(A) . Сумма цифр числа 799 равна S(799) = 7 + 9 + 9 = 25 . Заметим, что при сложении A и B переносов не возникает. Действительно, последняя цифра суммы равна 9 , значит, сумма последних цифр чисел A и B равна 9 (получить 19 невозможно, так как максимальная сумма двух цифр равна 9 + 9 = 18 ). Значит, переноса в разряд десятков нет. В разряде десятков суммы также стоит цифра 9 , и так как переноса из единиц нет, сумма цифр в разряде десятков также равна 9 . Следовательно, переноса в разряд сотен тоже нет. Поскольку переносов нет, k = 0 . Тогда уравнение принимает вид: 2S(A) = 25 Это невозможно, так как 2S(A) — чётное число, а 25 — нечётное. Полученное противоречие показывает, что такое представление невозможно. в) Пусть M — искомая сумма пяти различных чисел. Чтобы M была минимальной для некоторой фиксированной суммы цифр s , мы должны взять пять наименьших различных натуральных чисел с этой суммой цифр. Рассмотрим различные значения s : - При s = 1 наименьшие числа: 1, 10, 100, 1000, 10000 . Их сумма равна 11111 . - При s = 2 наименьшие числа: 2, 11, 20, 101, 110 . Их сумма равна 244 . - При s = 3 наименьшие числа: 3, 12, 21, 30, 102 . Их сумма равна 168 . - При s = 4 наименьшие числа: 4, 13, 22, 31, 40 . Их сумма равна 4 + 13 + 22 + 31 + 40 = 110 . - При 4 <= s <= 9 наименьшие числа образуются как числа не более чем из двух цифр вида 10a + b , где a + b = s . Таких чисел ровно s + 1 . При s >= 4 их не менее пяти, и наименьшие пять образуют арифметическую прогрессию с разностью 9 : s, s+9, s+18, s+27, s+36 . Их сумма равна 5s + 90 . Очевидно, что при увеличении s эта сумма строго возрастает, поэтому её минимум на этом промежутке достигается при s = 4 и равен 110 . - При s > 9 каждое число в выбираемой пятёрке будет больше, чем соответствующее число для s = 9 (например, для s = 10 наименьшие числа начинаются с 19, 28, 37 ). Поэтому итоговая сумма будет заведомо больше 110 . Таким образом, наименьшее число, которое можно представить в требуемом виде, равно 110 .
а) Да б) Нет в) 110