В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия возврата аналогичны задаче 16.1, но в июле 2027--2029 годов долг остаётся 4,2 млн, общая сумма выплат 6,1 млн. Найдите r.
Пусть r — процентная ставка по кредиту. Обозначим p = 1 + (r)/(100) . Согласно условию базовой модели кредита, платежи в последние два года (2030 и 2031) равны. Пусть каждый из них равен x млн рублей. Исходный долг составляет S = 4,2 млн рублей. Составим таблицу выплат. Первые три года (2027, 2028, 2029) долг остаётся неизменным и равным 4,2 млн рублей, значит, выплачиваются только начисленные проценты. Платёж в эти годы составляет 4,2(p - 1) млн рублей. | Год | Долг до начисления процентов | Долг после начисления процентов | Платёж | Остаток долга | |---|---|---|---|---| | 2027 | 4,2 | 4,2p | 4,2(p - 1) | 4,2 | | 2028 | 4,2 | 4,2p | 4,2(p - 1) | 4,2 | | 2029 | 4,2 | 4,2p | 4,2(p - 1) | 4,2 | | 2030 | 4,2 | 4,2p | x | 4,2p - x | | 2031 | 4,2p - x | (4,2p - x)p | x | 0 | Из условия полного погашения кредита в 2031 году следует: (4,2p - x)p - x = 0 4,2p^2 - xp - x = 0 x = (4,2p^2)/(p + 1) Общая сумма выплат за 5 лет равна 6,1 млн рублей: 3 * 4,2(p - 1) + 2x = 6,1 Подставим найденное выражение для x : 12,6(p - 1) + (8,4p^2)/(p + 1) = 6,1 Домножим обе части уравнения на (p + 1) , так как p > 0 : 12,6(p - 1)(p + 1) + 8,4p^2 = 6,1(p + 1) 12,6(p^2 - 1) + 8,4p^2 = 6,1p + 6,1 21p^2 - 12,6 = 6,1p + 6,1 21p^2 - 6,1p - 18,7 = 0 Умножим уравнение на 10 для удобства: 210p^2 - 61p - 187 = 0 Найдём дискриминант: D = (-61)^2 - 4 * 210 * (-187) = 3721 + 157080 = 160801 Извлечём корень: sqrt(160801) = 401 . Найдём корни уравнения: p = (61 +- 401)/(420) Так как p > 0 , то подходит только положительный корень: p = (61 + 401)/(420) = (462)/(420) = (11)/(10) = 1,1 Вернёмся к переменной r : 1 + (r)/(100) = 1,1 => (r)/(100) = 0,1 => r = 10
10