Задача №16014

В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r$% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 4,2 млн рублей;
— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите $r\text{,}$ если известно, что общая сумма выплат равна 6,1 млн рублей.

Пусть $r$ — процентная ставка по кредиту. Обозначим $p=1+\frac{r}{100}\text{.}$ Согласно условию базовой модели кредита, платежи в последние два года (2030 и 2031) равны. Пусть каждый из них равен $x$ млн рублей. Исходный долг составляет $S=4,2$ млн рублей.

Составим таблицу выплат. Первые три года (2027, 2028, 2029) долг остаётся неизменным и равным $4,2$ млн рублей, значит, выплачиваются только начисленные проценты. Платёж в эти годы составляет $4,2(p-1)$ млн рублей.

Из условия полного погашения кредита в 2031 году следует:

$$(4,2p-x)p-x=0$$ $$4,2p^2-xp-x=0$$ $$x=\frac{4,2p^2}{p+1}$$

Общая сумма выплат за 5 лет равна $6,1$ млн рублей:

$$3\cdot 4,2(p-1)+2x=6,1$$

Подставим найденное выражение для $x\text{:}$

$$12,6(p-1)+\frac{8,4p^2}{p+1}=6,1$$

Домножим обе части уравнения на $(p+1)\text{,}$ так как $p>0\text{:}$

$$12,6(p-1)(p+1)+8,4p^2=6,1(p+1)$$ $$12,6(p^2-1)+8,4p^2=6,1p+6,1$$ $$21p^2-12,6=6,1p+6,1$$ $$21p^2-6,1p-18,7=0$$

Умножим уравнение на 10 для удобства:

$$210p^2-61p-187=0$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-61{)}^2-4\cdot 210\cdot (-187)=3721+157080=160801$$

Извлечём корень: $\sqrt{160801}=401\text{.}$

Найдём корни уравнения:

$$p=\frac{61\pm 401}{420}$$

Так как $p>0\text{,}$ то подходит только положительный корень:

$$p=\frac{61+401}{420}=\frac{462}{420}=\frac{11}{10}=1,1$$

Вернёмся к переменной $r\text{:}$

$$1+\frac{r}{100}=1,1\Rightarrow \frac{r}{100}=0,1\Rightarrow r=10$$