В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N -- середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L. а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны. б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos BAC = (1)/(9).
а) Обозначим BAC = 2alpha, тогда BAL = CAL = alpha (так как AL -- биссектриса). Поскольку MN -- средняя линия ABC (M -- середина AB, N -- середина BC), то MN AC. Из параллельности MN AC и секущей AL: MLA = CAL = alpha (накрест лежащие углы). В AML: MAL = alpha и MLA = alpha, значит треугольник равнобедренный: ML = AM = (AB)/(2). Тогда медиана ML треугольника ABL равна половине стороны AB, значит ALB = 90°. Пусть H = AL n BC. Треугольники AHC и BHL подобны по двум углам ( AHC = BHL как вертикальные). Тогда LBH = CAH = alpha. Так как MN AC и AC BC (угол C = 90°), то ML BC. В BLC высота LN совпадает с медианой (N -- середина BC), значит BLC равнобедренный: BCL = LBC = alpha. Треугольники AML и BLC подобны по двум углам: MAL = BCL = alpha и AML = BLC. б) cos BAC = cos 2alpha = (1)/(9). По формуле двойного угла: sin^2 alpha = (1 - (1)/(9))/(2) = (4)/(9), sin alpha = (2)/(3). В прямоугольном ABL: (BL)/(AB) = sin alpha = (2)/(3), откуда (BL)/(AM) = (BL)/(AB/2) = (4)/(3). Коэффициент подобия k = (AM)/(BL) = (3)/(4). Отношение площадей: k^2 = (9)/(16).
б) \(\dfrac{9}{16}\)