Задача №16010

а) Обозначим $\angle BAC=2\alpha \text{,}$ тогда $\angle BAL=\angle CAL=\alpha$ (так как $AL$ — биссектриса). Поскольку $MN$ — средняя линия $△ABC$ ($M$ — середина $AB\text{,}$ $N$ — середина $BC$), то $MN\parallel AC\text{.}$

Из параллельности $MN\parallel AC$ и секущей $AL\text{:}$ $\angle MLA=\angle CAL=\alpha$ (накрест лежащие углы).

В $△AML\text{:}$ $\angle MAL=\alpha$ и $\angle MLA=\alpha \text{,}$ значит треугольник равнобедренный: $ML=AM=\frac{AB}{2}\text{.}$ Тогда медиана $ML$ треугольника $ABL$ равна половине стороны $AB\text{,}$ значит $\angle ALB=90°\text{.}$

Пусть $H=AL\cap BC\text{.}$ Треугольники $AHC$ и $BHL$ подобны по двум углам ($\angle AHC=\angle BHL$ как вертикальные). Тогда $\angle LBH=\angle CAH=\alpha \text{.}$

Так как $MN\parallel AC$ и $AC\perp BC$ (угол $C=90°$), то $ML\perp BC\text{.}$ В $△BLC$ высота $LN$ совпадает с медианой ($N$ — середина $BC$), значит $△BLC$ равнобедренный: $\angle BCL=\angle LBC=\alpha \text{.}$

Треугольники $AML$ и $BLC$ подобны по двум углам: $\angle MAL=\angle BCL=\alpha$ и $\angle AML=\angle BLC\text{.}$

б) $\cos \angle BAC=\cos 2\alpha =\frac{1}{9}\text{.}$ По формуле двойного угла: ${\sin }^2\alpha =\frac{1-\frac{1}{9}}{2}=\frac{4}{9}\text{,}$ $\sin \alpha =\frac{2}{3}\text{.}$

В прямоугольном $△ABL\text{:}$ $\frac{BL}{AB}=\sin \alpha =\frac{2}{3}\text{,}$ откуда $\frac{BL}{AM}=\frac{BL}{AB/2}=\frac{4}{3}\text{.}$

Коэффициент подобия $k=\frac{AM}{BL}=\frac{3}{4}\text{.}$ Отношение площадей: $k^2=\frac{9}{16}\text{.}$