Задача №16007

Решите неравенство ${\log }_{x+1}(x^2-5x+7)⩽{\log }_{x+1}x\text{.}$

ОДЗ: $x+1>0\text{,}$ $x+1\ne 1\text{,}$ $x^2-5x+7>0\text{,}$ $x>0\text{.}$ Отсюда $x>0\text{.}$ Так как основание $x+1>1$ при $x>0\text{,}$ знак неравенства сохраняется: $x^2-5x+7⩽x\text{,}$ $x^2-6x+7⩽0\text{.}$ Дискриминант: $D=36-28=8\text{.}$ Корни: $x=3\pm \sqrt{2}\text{.}$ Неравенство выполнено при $3-\sqrt{2}⩽x⩽3+\sqrt{2}\text{.}$ С учётом ОДЗ ($x>0$) ответ не меняется.

Ответ: $x\in [3-\sqrt{2};3+\sqrt{2}]\text{.}$