В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы: -- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; -- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; -- в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей; -- выплаты в 2030 и 2031 годах равны; -- к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат равна 12,6 млн рублей.
Пусть S = 6,6 млн рублей — сумма кредита, r — процентная ставка. Обозначим повышающий коэффициент k = 1 + (r)/(100) . Пусть x — ежегодный платёж в 2030 и 2031 годах. Составим таблицу изменения долга и выплат по годам: | Год | Долг после начисления % | Выплата | Остаток долга | |---|---|---|---| | 2027 | Sk | S(k - 1) | S | | 2028 | Sk | S(k - 1) | S | | 2029 | Sk | S(k - 1) | S | | 2030 | Sk | x | Sk - x | | 2031 | (Sk - x)k | x | 0 | Поскольку в 2031 году долг был полностью выплачен, остаток равен нулю: (Sk - x)k - x = 0 Sk^2 - xk - x = 0 x(k + 1) = Sk^2 => x = (Sk^2)/(k + 1) По условию общая сумма всех выплат равна 12,6 млн рублей: 3S(k - 1) + 2x = 12,6 Подставим в это уравнение выражение для x и значение S = 6,6 : 3 * 6,6(k - 1) + (2 * 6,6k^2)/(k + 1) = 12,6 Разделим обе части на 6,6 : 3(k - 1) + (2k^2)/(k + 1) = (12,6)/(6,6) 3(k - 1) + (2k^2)/(k + 1) = (21)/(11) Умножим обе части уравнения на 11(k + 1) , учитывая, что k > 0 : 33(k - 1)(k + 1) + 22k^2 = 21(k + 1) 33(k^2 - 1) + 22k^2 = 21k + 21 33k^2 - 33 + 22k^2 - 21k - 21 = 0 55k^2 - 21k - 54 = 0 Найдём дискриминант квадратного уравнения: D = (-21)^2 - 4 * 55 * (-54) = 441 + 11880 = 12321 = 111^2 Корни уравнения: k = (21 +- 111)/(110) Так как коэффициент k > 0 , отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи. k = (21 + 111)/(110) = (132)/(110) = 1,2 Вернёмся к процентной ставке r : 1 + (r)/(100) = 1,2 => (r)/(100) = 0,2 => r = 20 Ответ: 20 .
20