Задача №16006

В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r$% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей;
— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите $r\text{,}$ если известно, что общая сумма выплат равна 12,6 млн рублей.

Пусть $S=6,6$ млн рублей — сумма кредита, $r$ — процентная ставка.
Обозначим повышающий коэффициент $k=1+\frac{r}{100}\text{.}$
Пусть $x$ — ежегодный платёж в 2030 и 2031 годах.

Составим таблицу изменения долга и выплат по годам:

Поскольку в 2031 году долг был полностью выплачен, остаток равен нулю:

$$(Sk-x)k-x=0$$ $$S{k}^2-xk-x=0$$ $$x(k+1)=S{k}^2\Rightarrow x=\frac{S{k}^2}{k+1}$$

По условию общая сумма всех выплат равна 12,6 млн рублей:

$$3S(k-1)+2x=12,6$$

Подставим в это уравнение выражение для $x$ и значение $S=6,6\text{:}$

$$3\cdot 6,6(k-1)+\frac{2\cdot 6,6k^2}{k+1}=12,6$$

Разделим обе части на $6,6\text{:}$

$$3(k-1)+\frac{2k^2}{k+1}=\frac{12,6}{6,6}$$ $$3(k-1)+\frac{2k^2}{k+1}=\frac{21}{11}$$

Умножим обе части уравнения на $11(k+1)\text{,}$ учитывая, что $k>0\text{:}$

$$33(k-1)(k+1)+22k^2=21(k+1)$$ $$33(k^2-1)+22k^2=21k+21$$ $$33k^2-33+22k^2-21k-21=0$$ $$55k^2-21k-54=0$$

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

$$D=(-21{)}^2-4\cdot 55\cdot (-54)=441+11880=12321=111^2$$

Корни уравнения:

$$k=\frac{21\pm 111}{110}$$

Так как коэффициент $k>0\text{,}$ отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи.

$$k=\frac{21+111}{110}=\frac{132}{110}=1,2$$

Вернёмся к процентной ставке $r\text{:}$

$$1+\frac{r}{100}=1,2\Rightarrow \frac{r}{100}=0,2\Rightarrow r=20$$

Ответ: $20\text{.}$