Задача №16003

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых система

$\{\begin{array}{l}3\cdot 2^{|x|}+5|x|+4=3y+5x^2+3a\\ x^2+y^2=1\end{array}$

имеет ровно одно решение.

Оба уравнения системы симметричны относительно замены $x$ на $-x\text{:}$ в первом уравнении $|x|$ и $x^2$ не меняются, во втором $x^2+y^2=1$ также не меняется. Поэтому если $(x_0,y_0)$ — решение, то $(-x_0,y_0)$ тоже решение. Единственное решение возможно лишь при $x=0\text{.}$

Подставим $x=0$ в первое уравнение: $3\cdot 2^0+0+4=3y+0+3a\text{,}$ то есть $7=3y+3a\text{.}$

Из $x^2+y^2=1$ при $x=0\text{:}$ $y=\pm 1\text{.}$

При $y=1\text{:}$ $7=3+3a\text{,}$ $a=\frac{4}{3}\text{.}$

При $y=-1\text{:}$ $7=-3+3a\text{,}$ $a=\frac{10}{3}\text{.}$

Проверка $a=\frac{10}{3}\text{:}$ подставим $x=1$ в первое уравнение: $3\cdot 2+5+4=3y+5+10\text{,}$ $15=3y+15\text{,}$ $y=0\text{.}$ Точка $(1,0)$ лежит на окружности, значит это решение. По симметрии $(-1,0)$ тоже решение — не единственное.

Проверка $a=\frac{4}{3}\text{:}$ при $x\in (0;1]$ из первого уравнения выразим $y=2^x+\frac{5}{3}x-\frac{5}{3}{x}^2\text{.}$ При $x>0\text{:}$ $2^x>1$ и $\frac{5}{3}x(1-x)⩾0\text{,}$ значит $y>1\text{.}$ Но на окружности $y⩽1\text{.}$ Дополнительных решений нет.

Ответ: $a=\frac{4}{3}\text{.}$