Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система cases 3 * 2^(|x|) + 5|x| + 4 = 3y + 5x^2 + 3a x^2 + y^2 = 1 cases имеет ровно одно решение.
Оба уравнения системы симметричны относительно замены x на -x: в первом уравнении |x| и x^2 не меняются, во втором x^2 + y^2 = 1 также не меняется. Поэтому если (x_0,y_0) -- решение, то (-x_0,y_0) тоже решение. Единственное решение возможно лишь при x = 0. Подставим x = 0 в первое уравнение: 3 * 2^0 + 0 + 4 = 3y + 0 + 3a, то есть 7 = 3y + 3a. Из x^2 + y^2 = 1 при x = 0: y = +- 1. При y = 1: 7 = 3 + 3a, a = (4)/(3). При y = -1: 7 = -3 + 3a, a = (10)/(3). Проверка a = (10)/(3): подставим x = 1 в первое уравнение: 3 * 2 + 5 + 4 = 3y + 5 + 10, 15 = 3y + 15, y = 0. Точка (1,0) лежит на окружности, значит это решение. По симметрии (-1,0) тоже решение -- не единственное. Проверка a = (4)/(3): при x in (0;1] из первого уравнения выразим y = 2^x + (5)/(3)x - (5)/(3)x^2. При x > 0: 2^x > 1 и (5)/(3)x(1 - x) 0, значит y > 1. Но на окружности y 1. Дополнительных решений нет. Ответ: a = (4)/(3).
\(a = \dfrac{4}{3}\)